Question

已知ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，AD=AB=1，BC=2，PA⊥平面ABCD，
（1）若异面直线PC与BD所成的角为θ，且cosθ=

3

6

，求|PA|；
（2）在（1）的条件下，设E为PC的中点，能否在BC上找到一点F，使EF⊥CD？
（3）在（2）的条件下，求二面角B-PC-D的大小．

Answer 1

分析：（1）以A为坐标原点，AD，AB，AP方向分别为x，y，z轴正方向建立空间坐标系，设|PA|=a，我们易求出异面直线PC与BD的方向向量的坐标，根据异面直线PC与BD所成的角为θ，且cosθ=

3

6

，构造关于a的方程，解方程即可求出|PA|的值；
（2）设F（x，1，0），我们分别求出直线EF和CD的方向向量，根据两直线垂直，两方向向量的数量积为0，构造关于x的方程，解方程求出x的值，即可找到满足条件的F点的位置．
（3）分别求出EF与PC的方向向量，根据其数量积为0，可得EF⊥PC，结合EF⊥CD由线面垂直的判定定理得EF⊥平面PCD，再由面面垂直的判定定理得平面PCB⊥平面PCD，由直二面角的定义可得二面角B-PC-D的大小．

解答：解：以A为坐标原点，AD，AB，AP方向分别为x，y，z轴正方向建立空间坐标系
（1）设|PA|=a，则P（0，0，a），C（2，1，0），B（0，1，0），D（1，0，0）
∴

PC

=(2，1，-a)，

BD

=(1，-1，0)
由已知得：cosθ=

PC • BD

| PC || BD |

=

1

2 • 5+a2

=

3

6

，即5+a²=6∴a=1（a＞0）即|

PA

=1|
（2）设能在BC上找到一点F，使EF⊥CD，设F（x，1，0），由（1）知P（1，0，0）∴E(1，

1

2

，

1

2

)，
则

EF=

(x-1，

1

2

，-

1

2

)，又有

CD

=(-1，-1，0)，∵EF⊥CD，∴

EF

•

CD

=x-1+

1

2

=0，
∴x=

1

2

，即存在点F(

1

2

，1，0)满足要求．
（3）∵

EF

•

PC

=(-

1

2

，

1

2

，-

1

2

)•(2，1，-1)=0
∴EF⊥PC；
∵EF⊥CD且PC∩CD=C∴EF⊥平面PCD．EF?平面，
所以平面PCB⊥平面PCD，故二面角B-PC-D的大小为90°．

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，异面直线及其所成的角，直线与平面垂直的性质，其中建立恰当的空间坐标系，求出相应直线的方向向量，将空间直线夹角问题，及直线的垂直问题，转化为向量夹角问题是解答本题的关键．