【答案】
分析:(I)设A(x
1,y
1),B(x
2,y
2),M(
),由A、B在椭圆b
2x
2+a
2y
2=a
2b
2上,得
,两式相减,得
,由此能够证明直线AB与OM斜率的乘积等于e
2-1.
(Ⅱ)连接OA,OB,当2|
|=
时,得
,故x
1x
2+y
1y
2=0,由
,得(a
2+b
2)x
2-2a
2x+a
2(1-b
2)=0,由相交,得△=(-2a
2)
2-4a
2(1-b
2)(a
2+b
2)>0,再由韦达定理结合题设条件能够求出a的取值范围.
解答:(I)证明:设A(x
1,y
1),B(x
2,y
2),M(
),
∵A、B在椭圆b
2x
2+a
2y
2=a
2b
2上,
故有
,
两式相减,得
,
∴
=-
=-
=e
2-1.
(Ⅱ)解:连接OA,OB,当2|
|=
时,得
,
∴(x
1,y
1)•(x
2,y
2)=0,
即x
1x
2+y
1y
2=0,
由
,
得(a
2+b
2)x
2-2a
2x+a
2(1-b
2)=0,
由相交,应有△=(-2a
2)
2-4a
2(1-b
2)(a
2+b
2)>0,
化简为a
2+b
2>1,
由韦达定理:
,
,
∴y
1y
2=(1-x
1)(1-x
2)
=1-(x
1+x
2)+x
1x
2=
=
,
∴a
2-2a
2b
2+b
2=0,
∵b
2=a
2-c
2=a
2-a
2e
2,代入上式,有
a
2-2a
2(a
2-a
2e
2)+a
2-a
2e
2=0,
∴
,
∵
,∴1<
,适合条件a
2+b
2>1,
由此,得
.
点评:本题考查直线与圆锥曲线的综合应用,具体涉及到椭圆的简单性质、点差法的应用、根的判别式和韦达定理的运用,考查化归与转化、分类与整合的数学思想,培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识.