Question

已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过A（-2，0）、B（2，0）、C(1，

3

2

)三点．
（1）求椭圆E的方程：
（2）若点D为椭圆E上不同于A、B的任意一点，F（-1，0），H（1，0），当△DFH内切圆的面积最大时．求内切圆圆心的坐标．

Answer 1

分析：（1）设椭圆方程为mx²+ny²=1（m＞0，n＞0），将A（-2，0）、B（2，0）、C(1，

3

2

)代入椭圆E的方程，得到关于m，n的方程组，即可解得m=

1

4

，n=

1

3

．最后写出椭圆E的方程

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）先设△DFH边上的高为h，由于S△DFH=

1

2

×2×h=h，得到当点D在椭圆的上顶点时，h最大为

3

，再设△DFH的内切圆的半径为R，因为△DFH的周长为定值6．所以

1

2

R×6=S△DFH，从而救是R的最大值，从而解决问题．

解答：解：（1）设椭圆方程为mx²+ny²=1（m＞0，n＞0），
将A（-2，0）、B（2，0）、C(1，

3

2

)代入椭圆E的方程，得

4m=1 m+ 9 4 n=1

解得m=

1

4

，n=

1

3

．
∴椭圆E的方程

x2

4

+

y2

3

=1
（2）|FH|=2，设△DFH边上的高为h，S△DFH=

1

2

×2×h=h
当点D在椭圆的上顶点时，h最大为

3

，所以S_△DFH的最大值为

3

．
设△DFH的内切圆的半径为R，因为△DFH的周长为定值6．所以

1

2

R×6=S△DFH，
所以R的最大值为

3

3

．所以内切圆 圆心的坐标为(0，±

3

3

)

点评：本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的简单性质．解答的关键是将点的坐标代入方程，利用待定系数法求解．