Question

已知椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，椭圆C的左、右焦点分别为F₁（-1，0）、F₂（1，0），斜率为k（k≠0）的直线l经过点F₂，交椭圆于A、B两点，且△ABF₁的周长为8．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设点E为x轴上一点，

AF2

=λ

F2B

（λ∈R），若

F1F2

⊥(

EA

+λ

BE

)，求点E的坐标．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意可得|AF₁|+|BF₁|+|AB|=8，结合|AB|=AF₂|+|BF₂|，可求|AF₁|+|BF₁|+|AF₂|+|BF₂|，根据椭圆的定义可求a，然后由c得值班可求b，进而可求椭圆的方程
（Ⅱ）设点E的（m，0），由已知可得直线l的方程为y=k（x-1），代入椭圆方程

x2

4

+

y2

3

=1整理得：（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁，x₂是方程（*）的两个实根，结合根与系数得关系及

AF2

=λ

F2B

，

F1F2

⊥(

EA

+λ

BE

)，代入可求点E的坐标

解答：解：（Ⅰ）依题意，A、B不与椭圆C长轴两端点重合，因为△ABF₁的周长为8，
即|AF₁|+|BF₁|+|AB|=8，又|AB|=AF₂|+|BF₂|，
所以|AF₁|+|BF₁|+|AF₂|+|BF₂|=8．
根据椭圆的定义，得|AF₁|+|AF₂|=2a，|BF₁|+|BF₂|=2a，
所以，4a=8，a=2．…（2分）
又因为 c=1，
所以，b=

3

．
所以椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．（4分）
（Ⅱ）设点E的坐标为（m，0），由已知可得直线l的方程为y=k（x-1），
代入椭圆方程

x2

4

+

y2

3

=1
消去y整理得：（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0（*）（6分）
△=64k⁴-4（3+4k²）（4k²-12）=144（k²+1）＞0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁，x₂是方程（*）的两个实根，
由根与系数的关系可知：

x1+x2= 8k2 3+4k2 x1x2= 4k2-12 3+4k2

(1)   (2)

（8分）

AF2

=(1-x1，-y1），

F2B

=(x2-1，y2），

EA

=(x1-m，y1），

BE

=(m-x2，-y2）
由已知

AF2

=λ

F2B

，得1-x₁=λ（x₂-1）．
由已知x₂≠1，则λ=

1-x1

x2-1

（9分）

EA

+λ

BE

=(x1-m+λ(m-x2)，y1-λy2）x₁-m+λ（m-x₂）=x₁-m+

(1-x1)(m-x2)

x2-1

=

(x1-m)(x2-1)+(1-x1)(m-x2)

x2-1

=

2x1x2-(m+1)(x1+x2)+2m

x2-1

=

2(4k2-12) 3+4k2 - 8(m+1)k2 3+4k2 +2m

x2-1

．
因为

F1F2

•(

EA

+λ

BE

）=0

F1F2

=（2，0），

EA

+λ

BE

=(x1-m+λ(m-x2)，y1-λy2）
∴2（x₁-m+λ（m-x₂））=0
∴

2(4k2-12)

3+4k2

-

8(m+1)k2

3+4k2

+2m=0
化简得：6m-24=0，m=4，即E（4，0）．（12分）

点评：本题主要考查了利用椭圆的定义求解椭圆的方程，直线与椭圆的相交关系的应用，方程的根与系数的关系的应用，考查了考生的基本运算推理的能力．