【题目】已知函数f(x)=xlnx,函数g(x)=kx﹣cosx在点处的切线平行于x轴.
(1)求函数f(x)的极值;
(2)讨论函数F(x)=g(x)﹣f(x)的零点的个数.
【答案】(1)极小值为f(),无极大值(2)F(x)有且仅有2个零点
【解析】
(1)利用函数f(x)的导数判断函数的单调性,然后求出函数的极值;
(2)因为F(x)=x﹣cosx﹣xlnx,F'(x)=sinx﹣lnx,设h(x)=sinx﹣lnx,分类讨论:(i)当x∈(e,+∞)时,h(x)=F'(x)≤0,则F(x)单调递减,此时可得F(x)在(e,)上存在唯一零点,也即在(e,+∞)上存在唯一零点;(ii)当x∈(,e]时,,则F'(x)在(,e]单调递减,此时F(x)在(,e]上恒大于0,无零点;(iii)当x∈(0,1)时,,所以在(0,1)上单调递减,此时F(x)在(,]上存在唯一零点,即F(x)在(0,]上存在唯一零点
解:(1)因为函数f(x)=xlnx的定义域为(0,+∞),
所以,
令,即lnx+1<0,解得0<x,
所以f(x)的单调递减区间为(0,),
令,即lnx+1>0,解得,
所以f(x)的单调递增区间为(,+∞),
综上,f(x)的极小值为f(),无极大值;
(2)由,得)=k﹣1=0,故k=1,所以g(x)=x﹣cosx,
因为F(x)=x﹣cosx﹣xlnx,,
设h(x)=sinx﹣lnx,
(i)当x∈(e,+∞)时,,则单调递减,
又F(e)=﹣cose>0, ,
故F(x)在(e,)上存在唯一零点,也即在(e,+∞)上存在唯一零点;
(ii)当x∈(,e]时, ,则在单调递减,
因为,
所以存在,使得,且在上,在(x0,e]上,
所以为F(x)在(,e]上的最大值,
又因为F(e)=﹣cose>0,F()(1﹣ln)>0,
所以F(x)在(,e]上恒大于0,无零点;
(iii)当x∈(0,1)时,,
所以在(0,1)上单调递减,
当x∈[1,]时,,
设t(x)=xcosx﹣1,所以,
所以t(x)在[1,]上单调递减,
所以t(x)<t(1)=cos1﹣1<0,即,
所以在(0,]上单调递减,
因为,所以F(x)在上单调递增,
因为F()(1﹣ln)>0,
,
所以F(x)在(,]上存在唯一零点,即F(x)在(0,]上存在唯一零点,
综上,F(x)有且仅有2个零点
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【题目】已知,,分别为的中点,,将沿折起,得到四棱锥,为的中点.
(1)证明:平面;
(2)当正视图方向与向量的方向相同时,此时的正视图的面积为,求四棱锥的体积.
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【题目】已知数列的前项和为,且满足;数列的前项和为,且满足, , .
(1)求数列、的通项公式;
(2)是否存在正整数,使得恰为数列中的一项?若存在,求所有满足要求的;若不存在,说明理由.
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【题目】在我国瓷器的历史上六棱形的瓷器非常常见,因为六,八是中国人的吉利数字,所以好多器都做成六棱形和八棱形,数学李老师有一个正六棱柱形状的笔筒,底面边长为6cm,高为18cm(底部及筒壁厚度忽略不计),一长度为cm的圆铁棒l(粗细忽略不计)斜放在笔筒内部,l的一端置于正六柱某一侧棱的展端,另一端置于和该侧棱正对的侧棱上.一位小朋友玩耍时,向笔筒内注水,恰好将圆铁棒淹没,又将一个圆球放在笔筒口,球面又恰好接触水面,则球的表面积为_____cm2.
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【题目】在直角坐标系中,已知点,的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求的普通方程和的直角坐标方程;
(2)设曲线与曲线相交于,两点,求的值.
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【题目】众所周知的“太极图”,其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起,也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”.整个图形是一个圆形.其中黑色阴影区域在y轴右侧部分的边界为一个半圆,给出以下命题:
①在太极图中随机取一点,此点取自黑色阴影部分的概率是
②当时,直线y=ax+2a与白色部分有公共点;
③黑色阴影部分(包括黑白交界处)中一点(x,y),则x+y的最大值为2;
④设点P(﹣2,b),点Q在此太极图上,使得∠OPQ=45°,b的范围是[﹣2,2].
其中所有正确结论的序号是( )
A.①④B.①③C.②④D.①②
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【题目】受突如其来的新冠疫情的影响,全国各地学校都推迟2020年的春季开学.某学校“停课不停学”,利用云课平台提供免费线上课程.该学校为了解学生对线上课程的满意程度,随机抽取了500名学生对该线上课程评分.其频率分布直方图如下:若根据频率分布直方图得到的评分低于80分的概率估计值为0.45.
(1)(i)求直方图中的a,b值;
(ii)若评分的平均值和众数均不低于80分视为满意,判断该校学生对线上课程是否满意?并说明理由(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);
(2)若采用分层抽样的方法,从样本评分在[60,70)和[90,100]内的学生中共抽取5人进行测试来检验他们的网课学习效果,再从中选取2人进行跟踪分析,求这2人中至少一人评分在[60,70)内的概率.
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