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【题目】已知函数fx)=xlnx,函数gx)=kxcosx在点处的切线平行于x.

1)求函数fx)的极值;

2)讨论函数Fx)=gx)﹣fx)的零点的个数.

【答案】1)极小值为f,无极大值(2Fx)有且仅有2个零点

【解析】

1)利用函数fx)的导数判断函数的单调性,然后求出函数的极值;

2)因为Fx)=xcosxxlnxF'x)=sinxlnx,设hx)=sinxlnx,分类讨论:(i)当x∈(e+∞)时,hx)=F'x)≤0,则Fx)单调递减,此时可得Fx)在(e)上存在唯一零点,也即在(e+∞)上存在唯一零点;(ii)当x∈(e]时,,则F'x)在(e]单调递减,此时Fx)在(e]上恒大于0,无零点;(iii)当x∈(01)时,,所以在(01)上单调递减,此时Fx)在(]上存在唯一零点,即Fx)在(0]上存在唯一零点

解:(1)因为函数fx)=xlnx的定义域为(0+∞),

所以

,即lnx+10,解得0x

所以fx)的单调递减区间为(0),

,即lnx+10,解得

所以fx)的单调递增区间为(+∞),

综上,fx)的极小值为f,无极大值;

2)由,得)=k10,故k1,所以gx)=xcosx

因为Fx)=xcosxxlnx

hx)=sinxlnx

i)当x∈(e+∞)时,,则单调递减,

Fe)=﹣cose0

Fx)在(e)上存在唯一零点,也即在(e+∞)上存在唯一零点;

ii)当x∈(e]时, ,则单调递减,

因为

所以存在,使得,且在,在(x0e]

所以Fx)在(e]上的最大值,

又因为Fe)=﹣cose0F1ln)>0

所以Fx)在(e]上恒大于0,无零点;

iii)当x∈(01)时,

所以在(01)上单调递减,

x[1]时,

tx)=xcosx1,所以

所以tx)在[1]上单调递减,

所以tx)<t1)=cos110,即

所以在(0]上单调递减,

因为,所以Fx)在上单调递增,

因为F1ln)>0

所以Fx)在(]上存在唯一零点,即Fx)在(0]上存在唯一零点,

综上,Fx)有且仅有2个零点

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②当时,直线yax+2a与白色部分有公共点;

③黑色阴影部分(包括黑白交界处)中一点(xy),则x+y的最大值为2

④设点P(﹣2b),点Q在此太极图上,使得∠OPQ45°b的范围是[22]

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A.①④B.①③C.②④D.①②

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