Question

2．已知函数f（x）=log₂x，x∈[2，8]，函数g（x）=[f（x）]²-2a•f（x）+3的最小值为h（a）．
（1）求h（a）；
（2）是否存在实数m，n，同时满足以下条件：①m＞n＞3；②当h（a）的定义域为[n，m]时，值域为[n²，m²]．若存在，求出m，n的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）设t=f（x），利用换元法，可将已知函数化为一个二次函数，根据二次函数在定区间上的最值问题，即可得到h（a）的解析式．
（2）由（1）中h（a）的解析式，易得在h（a）在（3，+∞）上为减函数，进而根据h（a）的定义域为[n，m]时值域为[n²，m²]构造关于m，n的不等式组，如果不等式组有解，则存在满足条件的m，n的值；若无解，则不存在满足条件的m，n的值．

解答 解：（1）令t=f（x），
∵函数f（x）=log₂x，x∈[2，8]，
∴t∈[1，3]，y=g（x）=t²-2at+3，
当a≤1时，y=t²-2at+3在[1，3]上为增函数，此时当t=1时，h（a）=4-2a，
当1＜a＜2时，y=t²-2at+3在[1，a]上为减函数，在[a，3]上为增函数，此时当t=a时，h（a）=-a²+3，
当a≥2时，y=t²-2at+3在[1，3]上为减函数，此时当t=2时，h（a）=7-4a，
综上所述，h（a）=$\left\{\begin{array}{l}4-2a，a≤1\\-{a}^{2}+3，1＜a＜2\\ 7-4a，a≥2\end{array}\right.$，
（2）由（1）得m＞n＞3时，h（a）在定义域为[n，m]中为减函数，
若此时值域为[n²，m²]．
则$\left\{\begin{array}{l}7-4n={m}^{2}\\ 7-4m={n}^{2}\end{array}\right.$，
此时n+m=4，与m＞n＞3矛盾，故不存在满足条件的m，n的值；

点评 本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，熟练掌握对数函数的图象和性质，是解答的关键．