Question

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC．

（1）证明：D₁C∥平面A₁BD；
（2）证明：AC⊥平面BB₁D₁D．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由已知几何体为长方体，A₁D₁∥BC，A₁D₁=BC，得到D₁C∥A₁B，利用线面平行的判定定理可证；
（2）在矩形ABCD中，AB=BC，得到AC⊥BD，再由AC⊥BB₁，利用线面垂直的判定定理可证．

解答： 证明：（1）由已知几何体为长方体，A₁D₁∥BC，A₁D₁=BC，∴D₁C∥A₁B，
A₁B?平面A₁BD，D₁C?平面A₁BD，
∴D₁C∥平面A₁BD；
  （2）在矩形ABCD中，AB=BC，∴AC⊥BD （7分）
在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BB₁⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴AC⊥BB₁（9分）
BB₁∩BD=B，BB₁?平面BB₁D₁D，BD?平面BB₁D₁D，
∴AC⊥平面BB₁D₁D．    （10分）

点评：本题考查了线面平行和线面垂直的判定，关键是正确运用长方体的性质以及判定定理．