Question

【题目】如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx﹣ （1+k2）x2（k＞0）表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．

（1）求炮的最大射程；
（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：在 y=kx﹣ （1+k2）x2（k＞0）中，令y=0，得 kx﹣ （1+k2）x2=0．

由实际意义和题设条件知x＞0，k＞0．

∴ ，当且仅当k=1时取等号．

∴炮的最大射程是10千米．

（2）解：∵a＞0，∴炮弹可以击中目标等价于存在 k＞0，使ka﹣ （1+k2）a2=3.2成立，

即关于k的方程a2k2﹣20ak+a2+64=0有正根．

由韦达定理满足两根之和大于0，两根之积大于0，

故只需△=400a2﹣4a2（a2+64）≥0得a≤6．

此时，k= ＞0．

∴当a不超过6千米时，炮弹可以击中目标

【解析】（1）求炮的最大射程即求 y=kx﹣ （1+k2）x2（k＞0）与x轴的横坐标，求出后应用基本不等式求解．（2）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值，由一元二次方程根的判别式求解．