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3.如图随时,AB是⊙O的直径,C,D是⊙O上的两点,OC⊥AD.过点B作⊙O的切线PB交AD的延长线于点P,连接BC交AD于点E.
(1)求证:PE2=PD•PA;
(2)若AB=PB,求△CDE与△ABE面积之比.

分析 (1)先证明:PB=PE,再利用切割线定理证明PE2=PD•PA;
(2)由余弦定理可得CD2=(2-$\sqrt{2}$)OC2,利用△CDE∽△ABE,求△CDE与△ABE面积之比.

解答 (1)证明:∵过点B作⊙O的切线PB交AD的延长线于点P,
∴∠OBP=90°,
∴∠OBC+∠CBP=90°.
∵OC=OB,
∴∠OCB=∠OBC,
∵OC⊥AD,
∴∠OCB+∠CEA=90°,
∴∠BEP=∠CEA=∠CBP,
∴PB=PE,
∵PB2=PD•PA;,
∴PE2=PD•PA;
(2)解:连接OD,
∵AB=PB,BD⊥PA,
∴D为PA的中点,
∵O为AB的中点,
OD∥PB,
∵∠OBP=90°,
∴∠AOD=90°,
∵OC⊥AD,
∴∠COD=45°.
由余弦定理可得CD2=(2-$\sqrt{2}$)OC2
∵△CDE∽△ABE,
∴△CDE与△ABE面积之比=CD2:AB2=$\frac{2-\sqrt{2}}{4}$

点评 本题考查切割线定理,考查三角形相似的判定与性质,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.

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