Question

已知椭圆的离心率为，右焦点也是抛物线的焦点。 （1）求椭圆方程； （2）若直线与相交于、两点，①若,求直线的方程；②（选作）若动点满足，问动点的轨迹能否与椭圆存在公共点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由。

Answer 1

解：（1）根据，即，据得，故，

所以所求的椭圆方程是。

   （2）①当直线的斜率为时，检验知。设，

根据得得。

设直线，代入椭圆方程得，

故，得，

代入得，即，

解得，故直线的方程是。 

②问题等价于是不是在椭圆上存在点使得成立。

当直线是斜率为时，可以验证不存在这样的点，

故设直线方程为。（9分）

用①的设法，点点的坐标为，

若点在椭圆上，则，

即，

又点在椭圆上，故，

上式即，即，

由①知

，

代入得，解得，即。

当时，，；

当时，，。

故上存在点使成立，

即动点的轨迹与椭圆存在公共点，公共点的坐标是。