Question

【题目】已知圆C：x2＋y2＝9，点A(－5，0)，直线l：x－2y＝0.

(1)求与圆C相切，且与直线l垂直的直线方程；

(2)在直线OA上(O为坐标原点)，存在定点B(不同于点A)，满足：对于圆C上任一点P，都有为一常数，试求所有满足条件的点B的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝－2x±3（2）

【解析】(1)设所求直线方程为y＝－2x＋b，即2x＋y－b＝0，

∵直线与圆相切，∴＝3，得b＝±3，∴所求直线方程为y＝－2x±3.

(2)(解法1)假设存在这样的点B(t，0)，

当P为圆C与x轴左交点(－3，0)时，＝；

当P为圆C与x轴右交点(3，0)时，＝，

依题意，＝，解得，t＝－5(舍去)，或t＝－.

下面证明点B对于圆C上任一点P，都有为一常数．

设P(x，y)，则y2＝9－x2，

∴＝，从而＝为常数．

(解法2)假设存在这样的点B(t，0)，使得为常数λ，则PB2＝λ2PA2，∴(x－t)2＋y2＝λ2[(x＋5)2＋y2]，将y2＝9－x2代入得，x2－2xt＋t2＋9－x2＝λ2(x2＋10x＋25＋9－x2)，即

2(5λ2＋t)x＋34λ2－t2－9＝0对x∈[－3，3]恒成立，

∴解得(舍去)，

所以存在点B对于圆C上任一点P，都有为常数