Question

半平面α与平面β相交成一个锐二面角θ，α上的一个圆在β上的射影是一个离心率为

1

2

的椭圆，则θ=

30°

．

Answer 1

分析：根据题意，设圆的半径为r，由题意可得b=r，根据离心率与a，b，c的关系可得a=

2 3

3

r，所以cosθ=

2r

2a

=

3

2

，所以θ=30°．

解答：解：由题意可得：α上的一个圆在β上的射影是一个离心率为

1

2

的椭圆，也可以说为：β上的一个离心率为

1

2

的椭圆在α上的射影是一个圆，
设圆的半径为r，所以b=r，
又因为

c

a

=

1

2

，并且b²=a²-c²，所以a=

2 3

3

r．
所以cosθ=

2r

2a

=

3

2

，所以θ=30°．
故答案为：30°．

点评：本题考查与二面角有关的立体几何综合题，以及椭圆的性质，是解析几何与立体几何结合的一道综合题．