Question

在?ABCD中，A（1，1），=（6，0），点M是线段AB的中点，线段CM与BD交于点P．
（1）若=（3，5），求点C的坐标；
（2）当||=||时，求点P的轨迹．

Answer 1

解：（1）设点C的坐标为（x₀，y₀），
又=+=（3，5）+（6，0）=（9，5），
即（x₀-1，y₀-1）=（9，5），
∴x₀=10，y₀=6，即点C（10，6）．
（2）设P（x，y），则=-
=（x-1，y-1）-（6，0）
=（x-7，y-1），
=+=+3
=+3（-）=3-
=（3（x-1），3（y-1））-（6，0）
=（3x-9，3y-3）．
∵||=||，∴?ABCD为菱形，∴⊥，
∴（x-7，y-1）•（3x-9，3y-3）=0，
即（x-7）（3x-9）+（y-1）（3y-3）=0．
∴x²+y²-10x-2y+22=0（y≠1）．
即（x-5）²+（y-1）²=4（y≠1）．
故点P的轨迹是以（5，1）为圆心，2为半径的圆去掉与直线y=1的两个交点．
分析：（1）设出C的坐标，=+，以及求出点C的坐标，
（2）设出P的坐标，当||=||时?ABCD为菱形，⊥，表示，，即可求点P的轨迹．
点评：本题考查平面向量坐标运算，求轨迹方程的方法，是难题．