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已知关于x的不等式|3x-1|<a有唯一的整数解,则方程(1-|2x-1|)ax=1实数根的个数为( )
A.0
B.1
C.2
D.3
【答案】分析:先根据关于x的不等式|3x-1|<a有唯一的整数解求出a的取值范围,然后将方程(1-|2x-1|)ax=1实数根的个数可转化成y=1-|2x-1|与y=a-x图象的交点,结合图形可得结论.
解答:解:当a≤0时,不等式|3x-1|<a没有整数解
当a>0时,解得
附近的整数有0与1,当包含1时有两个整数,不合题意
∴不等式的整数解为0,则
解得1<a<2
方程(1-|2x-1|)ax=1实数根的个数可转化成y=1-|2x-1|与y=a-x图象的交点
分别画出函数y=1-|2x-1|与y=a-x的图象
根据可知有两个交点,则方程(1-|2x-1|)ax=1实数根有2个
故选C.
点评:本题主要考查了根的存在性及根的个数判断,解决此类问题常常转化成两函数图象的交点问题,同时考查了数形结合的思想,属于中档题.
练习册系列答案
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已知关于x的不等式ax2-2ax+x-2<0
(1)当a=3时,求此不等式解集;
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(选修4-5:不等式选讲)
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{x|x>
1
3
}
{x|x>
1
3
}

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选作题,本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答.若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.(几何证明选讲)
如图,已知两圆交于A、B两点,过点A、B的直线分别与两圆交于P、Q和M、N.求证:PM∥QN.
B.(矩阵与变换)
已知矩阵A的逆矩阵A-1=
10
02
,求矩阵A.
C.(极坐标与参数方程)
在平面直角坐标系xOy中,过椭圆
x2
12
+
y2
4
=1
在第一象限处的一点P(x,y)分别作x轴、y轴的两条垂线,垂足分别为M、N,求矩形PMON周长最大值时点P的坐标.
D.(不等式选讲)
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