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18.已知曲线y=3x2,求过点A(1,3)的曲线的切线方程.

分析 设出曲线过点P切线方程的切点坐标,把切点的横坐标代入到导函数中即可表示出切线的斜率,根据切点坐标和表示出的斜率,写出切线的方程,把P的坐标代入切线方程即可得到关于切点横坐标的方程,求出方程的解即可得到切点横坐标的值,分别代入所设的切线方程即可.

解答 解:设曲线y=3x2,与过点A(1,3)的切线相切于点P(x0,3x02),
则切线的斜率 k=y′|x=x0=6x0
∴切线方程为y-3x02=6x0(x-x0),
即 y=6x0•x-3x02
∵点A(1,3)在切线上,
∴3=6x0-3x02
解得x0=1,
过点A(1,3)的曲线的切线的斜率为:6,
过点A(1,3)的曲线的切线方程:y-3=6(x-1),即6x-y-3=0.

点评 本题考查学生会利用导数研究曲线上某点的切线方程,是一道综合题.学生在解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”,还是“过某点的切线”;同时解决“过某点的切线”问题,一般是设出切点坐标解决.

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