Question

如图正三棱锥ABC-A₁B₁C₁中，底面边长为a，侧棱长为

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a，若经过对角线AB₁且与对角线BC₁平行的平面交上底面于DB₁．
（1）试确定D点的位置，并证明你的结论；
（2）求平面AB₁D与侧面AB₁所成的角及平面AB₁D与底面所成的角；
（3）求A₁到平面AB₁D的距离．

Answer 1

分析：（1）先确定D为A₁C₁的中点，利用线面平行的性质证明BC₁可以平行于此面内过点D的一条直线，就说明点D的位置确定是正确的．
（2）过D作DF⊥A₁B₁于F，由正三棱锥的性质可得，∠DGF为平面AB₁D与侧面AB₁所成的角的平面角，解直角三角形求出此角的正切值，便可求出此角的大小．先证明∠A₁DA是平面AB₁D与上底面所成的角的平面角，把它放在直角三角形中，求出此角的正切值，
可得此角的大小．
（3）过A₁作A₁M⊥AD，证明A₁M是A₁到平面AB₁D的距离，面积法求出此距离．

解答：解：（1）D为A₁C₁的中点．连接A₁B与AB₁交于E，
则E为A₁B的中点，DE为平面AB₁D与平面A₁BC₁的交线，∵BC₁∥平面AB₁D
∴BC₁∥DE，∴D为A₁C₁的中点；
（2）过D作DF⊥A₁B₁于F，由正三棱锥的性质，A
A₁⊥DF，∴DF⊥平面AB₁，连接DG，
则∠DGF为平面AB₁D与侧面AB₁所成的角的平面角，可求得DF=

3

4

a，
由△B₁FG～△B₁AA₁，得FG=

3

4

a，∴∠DGF=

π

4

∵D为A₁C₁的中点，∴B₁D⊥A₁C₁，由正三棱锥的性质，AA₁⊥B₁D，∴B₁D⊥平面A₁C
∴B₁D⊥AD，∴∠A₁DA是平面AB₁D与上底面所成的角的平面角，
可求得tan∠A1DA=

2

，∴∠A₁DA=arctan

2

；
（3）过A₁作A₁M⊥AD，∵B₁D⊥平面A₁C，∴B₁D⊥A₁M，∴A₁M⊥平面AB₁D
即A₁M是A₁到平面AB₁D的距离，AD=

3

2

a，∴A₁M=

6

6

a．

点评：本题考查线面角、二面角的求法，点、线、面间距离的计算，及棱柱的结构特征．