Question

若F₁，F₂是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)与椭圆

x2

25

+

y2

9

=1的共同的左、右焦点，点P是两曲线的一个交点，且△PF₁F₂为等腰三角形，则该双曲线的渐近线方程是

 

．

Answer 1

分析：先根据两曲线的焦点相同，得双曲线中参数a、b间的一个等式，再利用椭圆的定义，在椭圆中计算两个焦半径PF₁、PF₂，再利用双曲线的定义，即可得双曲线的a值，从而确定双曲线的标准方程，进而求其渐近线方程．

解答：解：∵椭圆

x2

25

+

y2

9

=1的焦点坐标为（±4，0），
∴双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)中c=4，a²-b²=16  ①
设P为两曲线在第一象限的交点，
则在椭圆中，△PF₁F₂为等腰三角形，
∴PF₁=F₁F₂=8，∴PF₂=10-8=2
在双曲线中，2a=PF₁-PF₂=6，∴a=3  ②
由①②得，双曲线中a=3，b=

7

，
∴该双曲线的渐近线方程是y=±

7

3

x．
故答案为：y=±

7

3

x．

点评：本题主要考查了椭圆和双曲线的定义及其标准方程，椭圆和双曲线的几何性质的综合运用，恰当的在两曲线中研究点P的特点是解决本题的关键．