Question

已知直线：(kR)与圆C:相交于点A、B, M为弦AB中点．
(Ⅰ) 当k=1时，求弦AB的中点M的坐标及AB弦长；
（Ⅱ）求证：直线与圆C总有两个交点;
（Ⅲ）当k变化时求弦AB的中点M的轨迹方程．

Answer 1

（1）；（2）见解析；（3）．

（1）先直线方程与圆的方程联立，求交点坐标，再求弦长问题、中点坐标；（2）直线过定点，其在圆内；3（）利用直线斜率乘积为-1，求轨迹方程.
解 :（Ⅰ）当k=1时，由得   
设，，则
．∴．  
（Ⅱ）直线：（）过定点且P在圆内∴直线与圆总有两个交点
（Ⅲ）∵，直线：（）过定点
∴点M在以OP为直经的圆周上．∴设
∵            
∴点M的轨迹方程．