Question

“若函数f（x）在区间（-1，0）和（0，1）上都单调递增，则函数f（x）在区间（-1，1）上单调递增”的一个反例是（　　）

• A．f（x）=x²
• B．f（x）=-x²
• C．f(x)=

  x+1 0 (x＜0) (x=0) x-1 (x＞0)

• D．f(x)=

  x-1 0 (x＜0) (x=0) x+1 (x＞0)

Answer 1

分析：分别判断每个选项中所给函数图象，A，B选项中的函数都是二次函数，图象都是以y轴为对称轴的抛物线，所以在y轴两侧的单调性相反，所以不可能在区间（-1，0）和（0，1）上都单调递增，排除A，B选项，C，D选项都是分段函数，画出图象，根据图象即可判断．

解答：解：A选项中函数f（x）=x²图象是开口向上，对称轴为y轴，顶点在原点的抛物线，
当x∈（-1，0）时为减函数，当x∈（0，1）时为增函数，不符合条件．
B选项中函数f（x）=-x²图象是开口向下，对称轴为y轴，顶点在原点的抛物线，
当x∈（-1，0）时为增函数，当x∈（0，1）时为减函数，不符合条件．
C选项中函数是分段函数，图象如图所示，
由图可知，当x∈（-1，0）时为增函数，当x∈（0，1）时为增函数，
但当x∈（-1，1）时既不是增函数，也不是减函数，符合条件．
D选项中函数也是分段函数，图象如图（2）所示，
当x∈（-1，0）时为增函数，当x∈（0，1）时为增函数，且当x∈（-1，1）时也为增函数所以D选项不符合条件．
故选C

点评：本题主要考查应用函数单调性的定义判断函数的单调性，必须满足对定义域上的任意一个x的值都必须满足单调性的定义．