Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为3，点E在AA₁上，点F在CC₁上，且AE=FC₁=1，
（1）求证：E、B、F、D₁四点共面；
（2）若点G在BC上，BG=

2

3

，点M在BB₁上，GM⊥BF，垂足为H，求证：EM⊥平面BCC₁B₁．

Answer 1

证明：（1）如图，在DD₁上取点N，使DN=1，连接EN，CN，
则AE=DN=1，CF=ND₁=2，
因为AE∥DN，ND₁∥CF，所以四边形ADNE是平行四边形，
从而EN

∥ .

.

AD，FD₁∥CN，又因为AD

∥ .

.

BC，所以EN

∥ .

.

BC，
故四边形BCNE是平行四边形，由此推知CN∥BE，从而FD₁∥BE，
所以E、B、F、D₁四点共面；
（2）如图，GM⊥BF，又MB⊥BC，所以∠BGM=∠CFB，
BM=BG•tan∠BGM=BG•∠CFB=BG•

BC

CF

=

2

3

•

3

2

=1，
因为AE

∥ .

.

BM，所以ABME为平行四边形，从而AB∥EM，又AB⊥平面BCC₁B₁，
所以EM⊥平面BCC₁B₁．