【题目】(2015·陕西)设fn(x)=x+x2+x...+xn-1, nN, n≥2。
(1)fn'(2)
(2)证明:fn(x)在(0,)内有且仅有一个零点(记为an), 且0<an-<()n.
【答案】
(1)
fn'(2)=(n-1)2n+1
(2)
见解析。
【解析】
(1)由题设fn'(x)=1+2x+...+nxn-1, 所以fn'(2)=1+2x2+...+n2n-1, 此式等价于数列{n·2n-1}的前n项和, 由错位相减法得fn'(2)=(n-1)2n+1。
(2)因为f(0)=-1<0, fn'()=1-2x()n≥1-2x()2>0, 所以fn(x)在在(0,)内至少存在一个零点,又fn'(x)=1+2x+...+nxn-1>0, 所以fn(x)在(0,)内单调递增, 因此,fn(x)在(0,)内有且只有一个零点an, 由于fn(x)=-1, 所以0=fn(an)=-1, 由此可得an=+ann+1>,故<an<, 继而得0<an-=ann+1<x()n+1=x()n
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【题目】如图,长方形的边AB=2,BC=1,O是AB的中点,点P沿着边BC,CD与DA运动,记BOP=x,将动点P到A,B两点距离之和表示为x的函数f(x),则图像大致为()
A.
B.
C.
D.
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【题目】(2015·四川)在三棱住ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,其正视图和侧视图都是边长为1的正方形,俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形,设点M , N , P分别是AB , BC , B1C1的中点,则三棱锥P-A1MN的体积是 。
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【题目】(2015·四川)已知函数f(x)=-2(x+a)lnx+x2-2ax-2a2+a,其中a>0.
(1)设g(x)是f(x)的导函数,评论g(x)的单调性;
(2)证明:存在a(0,1),使得f(x)≥0,在区间(1,+)内恒成立,且f(x)=0在(1,+)内有唯一解.
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【题目】已知等差数列{an}的前n项的和记为Sn.如果a4=-12,a8=-4.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求Sn的最小值及其相应的n的值;
(3)从数列{an}中依次取出a1,a2,a4,a8,…,,…,构成一个新的数列{bn},求{bn}的前n项和
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【题目】(2015·湖南)某工作的三视图如图3所示,现将该工作通过切削,加工成一个体积尽可能大的正方体新工件,并使新工件的一个面落在原工作的一个面内,则原工件材料的利用率为(材料利用率=新工件的体积/原工件的体积)
A.
B.
C.
D.
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【题目】设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18,先采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员参加比赛
(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数
(2)将抽取的6名运动员进行编号,编号分别为 ,从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛.(1)用所给编号列出所有可能的结果;(2)设为事件“编号为的两名运动员至少有一人被抽到”,求事件发生的概率
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【题目】一直函数,其中
(1)讨论的单调性
(2)设曲线与轴正半轴的交点为,曲线在点处的切线方程为,求证:对于任意的正实数,都有
(3)若关于的方程(为实数)有两个正实根,求证:
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