【题目】设常数a∈R,函数f(x)=(a﹣x)|x|.
(1)若a=1,求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)是奇函数,且关于x的不等式mx2+m>f[f(x)]对所有的x∈[﹣2,2]恒成立,求实数m的取值范围.
【答案】
(1)解:当a=1时, ;
当x≥0时, ,∴f(x)在 内是增函数,在 内是减函数;
当x<0时, ,∴f(x)在(﹣∞,0)内是减函数;
综上可知,f(x)的单调增区间为 ,单调减区间为(﹣∞,0), ;
(2)解:∵f(x)是奇函数,∴f(﹣1)=﹣f(1);
即(a+1)1=﹣(a﹣1)1;
解得a=0;
∴f(x)=﹣x|x|,f[f(x)]=x3|x|;
∴mx2+m>f[f(x)]=x3|x|,即 对所有的x∈[﹣2,2]恒成立;
∵x∈[﹣2,2],∴x2+1∈[1,5];
∴ ;
∴ ;
∴实数m的取值范围为
【解析】(1)a=1时,便可得出 ,从而可根据二次函数的单调性,即可分别求出x≥0和x<0时f(x)的单调区间,从而得出f(x)的单调区间;(2)可由f(x)为奇函数得到a=0,从而得到f(x)=﹣x|x|,进一步求得f[f(x)]=x3|x|,从而可由mx2+m>f[f(x)]得到 对于任意x∈[﹣2,2]恒成立,可由x∈[﹣2,2]得出 ,这样便可得出实数m的取值范围.
【考点精析】关于本题考查的函数单调性的判断方法和函数的最值及其几何意义,需要了解单调性的判定法:①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量,且x1<x2;②判定f(x1)与f(x2)的大小;③作差比较或作商比较;利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值;利用图象求函数的最大(小)值;利用函数单调性的判断函数的最大(小)值才能得出正确答案.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,已知圆C的圆心在直线l:y=2x﹣4上,半径为1,点A(0,3). (Ⅰ)若圆心C也在直线y=x﹣1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程;
(Ⅱ)若圆C上存在点M,使|MA|=2|MO|(O为坐标原点),求圆心C的横坐标a的取值范围.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在中,已知(sin A+sin B+sin C)·(sin B+sin C-sin A)=3sin Bsin C.
(Ⅰ)求角A的值;
(Ⅱ)求sin B-cos C的最大值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知圆M:(x﹣1)2+(y﹣1)2=4,直线l过点P(2,3)且与圆M交于A,B两点,且|AB|=2 .
(1)求直线l方程;
(2)设Q(x0 , y0)为圆M上的点,求x02+y02的取值范围.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】函数的部分图像如图所示,将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象.
(1)求函数的解析式;
(2)在中,角A,B,C满足,且其外接圆的半径R=2,求的面积的最大值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】底面是正方形的四棱锥中中,侧面底面,且是等腰直角三角形,其中,分别为线段的中点,问在线段上是否存在点,使得二面角的余弦值为,若存在,请求出点的位置;若不存在,请说明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】数列{an}和{bn}的每一项都是正数,且a1=8,b1=16,且an , bn , an+1成等差数列,bn , an+1 , bn+1成等比数列.
(1)求a2 , b2的值;
(2)求数列{an},{bn}的通项公式.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】有两个不透明的箱子,每个箱子都装有4个完全相同的小球,球上分别标有数字1,2,3,4.
(1)甲从其中一个箱子中摸出一个球,乙从另一个箱子摸出一个球,谁摸出的球上标的数字大谁就获胜(若数字相同则为平局),求甲获胜的概率;
(2)摸球方法与(1)同,若规定:两人摸到的球上所标数字相同甲获胜,所标数字不相同则乙获胜,这样规定公平吗?请说明理由。
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com