Question

求函数解析式
（1）求一次函数f（x），使f[f（x）]=9x+1；
（2）已知f（

x+1

x

）=

x2+x+1

x2

，求f（x）；
（3）f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，并且f（x）+g（x）=

1

x-1

，求f（x）、g（x）；
（4）f（x）的定义域是正整数集N^*，f（1）=1，且f（x+1）=f（x）+5，求f（x）．

Answer 1

分析：（1）可用待定系数法；（2）可用配凑法；（3）因考虑到f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，所以可以用-x代换x，利用方程组法求解；（4）转换为数列问题，利用数列的方法解决问题．

解答：解：（1）令f（x）=ax+b，则f[f（x）]=a（ax+b）+b=a²x+ab+b=9x+1；
解得：

a=3 b= 1 4

或

a=-3 b=- 1 2

∴f(x)=3x+

1

4

或f(x)=-3x-

1

2

（2）∵f（

x+1

x

）=

x2+x+1

x2

=（

x+1

x

）²-（

x+1

x

）+1
∴f（x）=x²-x+1（x≠1）
（3）∵f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，且f（x）+g（x）=

1

x-1

①，
∴f（-x）+g（-x）=-f（x）+g（x）=

1

-x-1

②，
即：f（x）=

x

x2-1

； g（x）=

1

x2-1

（4）∵f（x+1）=f（x）+5，∴f（x+1）-f（x）=5，
∴f（x）-f（x-1）=5，
f（x-1）-f（x-2）=5，
…
f（3）-f（2）=5，
f（2）-f（1）=5，
将上边一系列式子左右两边相加得f（x）-f（1）=5（x-1），又∵f（1）=1，
∴f（x）=5x-4

点评：求解析式的几种常见方法：①代入法：即已知f（x），g（x），求f（g（x））用代入法，只需将g（x）替换f（x）中的x即得；②换元法：已知f（g（x）），g（x），求f（x）用换元法，令g（x）=t，解得x=g-1（t），然后代入f（g（x））中即得f（t），从而求得f（x）．当f（g（x））的表达式较简单时，可用“配凑法”；③待定系数法：当函数f（x）类型确定时，可用待定系数法．④方程组法：方程组法求解析式的实质是用了对称的思想．一般来说，当自变量互为相反数、互为倒数或是函数具有奇偶性时，均可用此法．在解关于f（x）的方程时，可作恰当的变量代换，列出f（x）的方程组，求得f（x）．