【题目】在中,角所对的边分别为.
(1)若为边的中点,求证: ;
(2)若,求面积的最大值.
【答案】(1)详见解析;(2)1.
【解析】
(1)证法一:根据为边的中点,可以得到向量等式,平方,再结合余弦定理,可以证明出等式;
证法二:分别在和中,利用余弦定理求出和的表达式,利用,可以证明出等式;
(2)解法一:解法一:记面积为.由题意并结合(1)
所证结论得:,利用已知
,再结合基本不等式,最后求可求出面积的最大值;
解法二:利用余弦定理把表示出来,结合重要不等式,再利用三角形面积公式可得
,令设,利用辅助角公式,可以求出的最大值,即可求出面积的最大值.
(1)证法一:由题意得
①
由余弦定理得 ②
将②代入①式并化简得,
故;
证法二:在中,由余弦定理得,
在中,由余弦定理得,
∵,∴,
则,故;
(2)解法一:记面积为.由题意并结合(1)
所证结论得:,
又已知,
则,
即,当时,等号成立,故,
即面积的最大值为1.
解法二:
设
则
由,
故.
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【题目】一只袋中装有编号为1,2,3,…,n的n个小球,n≥4,这些小球除编号以外无任何区别,现从袋中不重复地随机取出4个小球,记取得的4个小球的最大编号与最小编号的差的绝对值为ξn , 如ξ4=3,ξ5=3或4,ξ6=3或4或5,记ξn的数学期望为f(n).
(1)求f(5),f(6);
(2)求f(n).
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【题目】已知正项等比数列{an}满足a1 , 2a2 , a3+6成等差数列,且a42=9a1a5 ,
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=( an+1)an , 求数列{bn}的前n项和Tn .
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【题目】已知函数f(x)=x﹣1+ (a∈R,e为自然对数的底数).
(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴,求a的值;
(2)求函数f(x)的极值;
(3)当a=1的值时,若直线l:y=kx﹣1与曲线y=f(x)没有公共点,求k的最大值.
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【题目】已知.
(1)求函数的最小正周期和对称轴方程;
(2)若,求的值域.
【答案】(1)对称轴为,最小正周期;(2)
【解析】
(1)利用正余弦的二倍角公式和辅助角公式将函数解析式进行化简得到,由周期公式和对称轴公式可得答案;(2)由x的范围得到,由正弦函数的性质即可得到值域.
(1)
令,则
的对称轴为,最小正周期;
(2)当时,,
因为在单调递增,在单调递减,
在取最大值,在取最小值,
所以,
所以.
【点睛】
本题考查正弦函数图像的性质,考查周期性,对称性,函数值域的求法,考查二倍角公式以及辅助角公式的应用,属于基础题.
【题型】解答题
【结束】
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【题目】已知等比数列的前项和为,公比,,.
(1)求等比数列的通项公式;
(2)设,求的前项和.
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【题目】某学校高中毕业班有男生900人,女生600人,学校为了对高三学生数学学习情况进行分析,从高三年级按照性别进行分层抽样,抽取200名学生成绩,统计数据如表所示:
分数段(分) | [50,70) | [70,90) | [90,110) | [110,130) | [130,150) | 总计 |
频数 | 20 | 40 | 70 | 50 | 20 | 200 |
(1)若成绩90分以上(含90分),则成绩为及格,请估计该校毕业班平均成绩及格学生人数;
(2)如果样本数据中,有60名女生数学成绩合格,请完成如下数学成绩与性别的列联表,并判断是否有90%的把握认为“该校学生的数学成绩与性别有关”.
女生 | 男生 | 总计 | |
及格人数 | 60 | ||
不及格人数 | |||
总计 |
参考公式:K2= .
P(K2≥k0) | 0.10 | 0.050 | 0.010 |
k0 | 2.706 | 3.841 | 6.635 |
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