分析 (Ⅰ)可以利用a4=a1+3d=9、a8+a2=a1+7d+a1+d=22求出首项和公差,进而可得结论;也可以利用等差中项的性质通过a8+a2=22得a5=11,进而可得公差d=a5-a4=2,利用an=a4+(n-4)d计算即可;
(Ⅱ)通过将点An(an,bn)代入y=3x可知${b_n}={3^{a_n}}={3^{2n+1}}$,进而可得$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=9,计算即得结论.
解答 解:(Ⅰ)法一:设数列{an}的公差为d,
由题可知a4=a1+3d=9,
即a8+a2=a1+7d+a1+d=22,
解得a1=3,d=2,
∴an=2n+1;
法二:由a8+a2=22得a5=11,
又a4=9,
∴数列{an}的公差d=a5-a4=11-9=2,
∴an=a4+(n-4)d=2n+1;
(Ⅱ)∵点An(an,bn)在函数y=3x的图象上,
∴${b_n}={3^{a_n}}={3^{2n+1}}$,
∴$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=$\frac{{3}^{2n+3}}{{3}^{2n+1}}$=9,
又∵b1=${3}^{{a}_{1}}$=32+1=27,
∴数列{bn}是以27为首项、9为公比的等比数列,
∴Sn=b1+b2+…+bn=$\frac{{27(1-{9^n})}}{1-9}=\frac{{27({9^n}-1)}}{8}$.
点评 本题是一道关于数列与函数的综合题,考查运算求解能力,注意解题方法的积累,属于中档题.
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A. | $\frac{x^2}{2}$-$\frac{y^2}{8}$=1 | B. | $\frac{x^2}{3}$-$\frac{y^2}{12}$=1 | C. | $\frac{y^2}{3}$-$\frac{x^2}{12}$=1 | D. | $\frac{y^2}{2}$-$\frac{x^2}{8}$=1 |
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