Question

7．已知数列{a_n}为等差数列，a₄=9，且a₈+a₂=22
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项；
（Ⅱ）若点A_n（a_n，b_n）在函数y=3^x的图象上，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）可以利用a₄=a₁+3d=9、a₈+a₂=a₁+7d+a₁+d=22求出首项和公差，进而可得结论；也可以利用等差中项的性质通过a₈+a₂=22得a₅=11，进而可得公差d=a₅-a₄=2，利用a_n=a₄+（n-4）d计算即可；
（Ⅱ）通过将点A_n（a_n，b_n）代入y=3^x可知${b_n}={3^{a_n}}={3^{2n+1}}$，进而可得$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=9，计算即得结论．

解答 解：（Ⅰ）法一：设数列{a_n}的公差为d，
由题可知a₄=a₁+3d=9，
即a₈+a₂=a₁+7d+a₁+d=22，
解得a₁=3，d=2，
∴a_n=2n+1；
法二：由a₈+a₂=22得a₅=11，
又a₄=9，
∴数列{a_n}的公差d=a₅-a₄=11-9=2，
∴a_n=a₄+（n-4）d=2n+1；
（Ⅱ）∵点A_n（a_n，b_n）在函数y=3^x的图象上，
∴${b_n}={3^{a_n}}={3^{2n+1}}$，
∴$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=$\frac{{3}^{2n+3}}{{3}^{2n+1}}$=9，
又∵b₁=${3}^{{a}_{1}}$=3²⁺¹=27，
∴数列{b_n}是以27为首项、9为公比的等比数列，
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=$\frac{{27（1-{9^n}）}}{1-9}=\frac{{27（{9^n}-1）}}{8}$．

点评 本题是一道关于数列与函数的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．