Question

19．已知$f（x）=\frac{ax+b}{{1+{x^2}}}$（a，b为常数）是定义在（-1，1）上的奇函数，且$f（\frac{1}{2}）=\frac{4}{5}$．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）用定义证明f（x）在（-1，1）上是增函数；
（Ⅲ）求不等式f（2t-1）+f（t）＜0的解集．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据奇函数的性质得：f（0）=0，结合条件列出方程组，求出a、b的值，可得f（x）；
（Ⅱ）根据函数单调性的定义，以及步骤：取值、作差、变形、定号、下结论进行证明即可；
（Ⅲ）根据奇函数的性质等价转化不等式f（2t-1）+f（t）＜0，由函数的定义域、单调性列出不等式组，求出t的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）∵$f（x）=\frac{ax+b}{1+{x}^{2}}$是（-1，1）上的奇函数，且$f（\frac{1}{2}）=\frac{4}{5}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=0}\\{f（\frac{1}{2}）=\frac{4}{5}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{b=0}\\{\frac{\frac{1}{2}a+b}{1+\frac{1}{4}}=\frac{4}{5}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=0}\end{array}\right.$，则$f（x）=\frac{2x}{1+{x}^{2}}$；
证明：（Ⅱ）设任意-1＜x₁＜x₂＜1，
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{2{x}_{1}}{1+{x}_{1}^{2}}-\frac{2{x}_{2}}{1+{x}_{2}^{2}}$═$\frac{2（{x}_{1}-{x}_{2}+{x}_{1}{x}_{2}^{2}-{x}_{2}{x}_{1}^{2}）}{（1+{x}_{1}^{2}）（1+{x}_{2}^{2}）}$
=$\frac{2（{x}_{1}-{x}_{2}）（1-{x}_{1}{x}_{2}）}{（1+{x}_{1}^{2}）（1+{x}_{2}^{2}）}$，
∵x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0；
∵-1＜x₁，x₂＜1，∴1-x₁x₂＞0，$（1+x_1^2）（1+x_2^2）＞0$），
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（-1，1）上是增函数；
解：（Ⅲ）∵f（x）是定义在（-1，1）上的奇函数和增函数，
∴不等式f（2t-1）+f（t）＜0等价于f（2t-1）＜-f（t）=f（-t），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1＜2t-1＜1}\\{-1＜t＜1}\\{2t-1＜-t}\end{array}\right.$，解得$0＜t＜\frac{1}{3}$，
∴不等式的解集是（0，$\frac{1}{3}$）．

点评 本题考查了奇函数的性质，函数单调性的定义，以及证明单调性的步骤：取值、作差、变形、定号、下结论，注意函数的定义域，考查转化思想，化简、变形能力．