Question

【题目】已知函数，函数.

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围；

（Ⅲ）若，求证不等式.

Answer 1

【答案】(1) g(x)的增区间，减区间;(2) ;(3)见解析.

【解析】试题分析：（1）根据导数的正负情况研究函数的单调性；（2）恒成立求参转化为 恒成立，求到研究函数单调性和最值；（3）转化为在上恒成立。通过求导研究函数单调性，求得函数最值。

（Ⅰ）g(x)的定义域为 ， ， 当时， 在上恒成立

所以g(x)的增区间，无减区间当时，令得

令得所以g(x)的增区间，减区间 .

（Ⅱ） 即在上恒成立

设，考虑到

，在上为增函数， ，

当时， ， 在上为增函数， 恒成立

当时， ， 在上为增函数

，在上， ， 递减，

，这时不合题意， 综上所述，

（Ⅲ）要证明在上，

只需证明 ，由（Ⅱ）当a =0时，在上， 恒成立， 再令， 在上， ， 递增，所以 即，相加，得，所以原不等式成立.