Question

设函数f（x）=-3x|x|+bx+c，则下列命题中正确命题的序号是

②③⑤

．
①当b＜0时，f（x）在R上有最大值；
②函数f（x）的图象关于点（0，c）对称；
③方程f（x）=0可能有3个实根；
④存在b，c的值，使f（x）为偶函数；
⑤一定存在实数a，使f（x）在[a，+∞）上单调递减．

Answer 1

分析：取b=-1，c=0，得f（x）=-3x|x|-x，此时函数没有最大值，故①错；利用函数图象关于点对称的定义，可以证出②正确；取b=3，c=0，得f（x）=-3x|x|+3x=0的根刚好3个，故③正确；利用奇偶性的定义，可以证出④错；最后取b=-1，c=0，得f（x）=-3x|x|-x，此时对任意实数a，f（x）在[a，+∞）上单调递减，得到⑤正确．

解答：解：对于①，b＜0，可设b=-1，c=0，得f（x）=-3x|x|-x，此时函数为R上的减函数，没有最大值，故①错；
对于②，因为f（-x）=3x|x|-bx+c，所以f（-x）+f（x）=2c，可得函数f（x）的图象关于点（0，c）对称，故②正确；
对于③，可设b=3，c=0，得f（x）=-3x|x|+3x，方程f（x）=0的根有1、-1和0，刚好3个．故③正确；
对于④，设f（-x）=f（x），即3x|x|-bx+c=-3x|x|+bx+c，找不到b、c的值使此式子恒成立，所以不存在b，c的值，使f（x）为偶函数，故④错；
对于⑤，当b=-1，c=0时，f（x）=-3x|x|-x在R上为减函数，此时对任意实数a，f（x）在[a，+∞）上单调递减，
故⑤正确．
故答案为：②③⑤

点评：本题以命题真假的判断为载体，考查了函数的单调性、奇偶性、图象的对称性和函数零点与等知识，属于基础题．