Question

已知A、B是圆x²+y²=4上满足条件的两个点，其中O是坐标原点，分别过A、B作x轴的垂线段，交椭圆x²+4y²=4于A₁、B₁点，动点P满足
（I）求动点P的轨迹方程
（II）设S₁和S₂分别表示△PAB和△B₁A₁A的面积，当点P在x轴的上方，点A在x轴的下方时，求S₁+S₂的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（I）设P（x，y），A₁（x₁，y₁），B₁（x₂，y₂），求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求x，y的关系，结合向量的垂直关系及向量的坐标运算即得动点P的轨迹方程；
（II）根据（I）A（x₁，2y₁），B（x₂，2y₂），得出直线AB的方程，再利用点到直线的距离公式求得点P到直线AB的距离，最后利用基本不等式求出S₁+S₂的最大值即可．
解答：解：（I）设P（x，y），A₁（x₁，y₁），B₁（x₂，y₂），
则x₁²+4y₁²=4①x₂²+4y₂²=4②从而A（x₁，2y₁），B（x₂，2y₂）由于，所以，进而有x₁x₂+4y₁y₂=0③根据可得（x-x₁，y-y₁）+2（x₂-x，y₂-y）=（0，0）即
由④²+4×⑤²，并结合①②③得
x²+4y²=（2x₂-x₁）²+4（2y₂-y₁）²
=4（x₂²+4y₂²）+（x₁²+4y₁²）-4（x₁x₂+4y₁y₂）
=4×4+4-4×0=20
所以动点P的轨迹方程为x²+4y²=20
（II）根据（I）A（x₁，2y₁），B（x₂，2y₂），所以直线AB的方程为
即2（y₂-y₁）x-（x₂-x₁）y+2y₁（x₂-x₁）-2x₁（y₂-y₁）=0
从而点P（2x_2′-x₁，2y₂-y₁）（2y₂-y₁＞0）到直线AB的距离为
=
=
又因为
所以S=
而（∵y₁＜0）
所以
由①+②-2×③得
从而有8=（x₂-x₁）²+4（y₂-y₁）²≥2×|x₂-x₁|×2|y₂-y₁|=4|x₂-x₁||y₂-y₁|
当且仅当|x₂-x₁|=2|y₂-y₁|时取等号．
所以S₁+S₂=|（x₂-x₁）（y₂-y₁）|≤2，即S₁+S₂的最大值为2
点评：求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一   求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系，求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法，本题利用的是直接法，直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程．