Question

设P是曲线C₁上的任一点，Q是曲线C₂上的任一点，称|PQ|的最小值为曲线C₁与曲线C₂的距离．
（1）求曲线C₁：y=e^x与直线C₂：y=x-1的距离；
（2）设曲线C₁：y=e^x与直线C₃：y=x-m（m∈R，m≥0）的距离为d₁，直线C₂：y=x-1与直线C₃：y=x-m的距离为d₂，求d₁+d₂的最小值．

Answer 1

（1）要求曲线C₁与直线C₂的距离，只需求曲线C₁上的点到直线y=x-1距离的最小值．
设曲线C₁上任意一点为P（x，e^x），则点P（x，e^x）到y=x-1的距离d=

|x-ex-1|

2

=

|ex-x+1|

2

．
令f（x）=e^x-x+1，则f'（x）=e^x-1，
由f'（x）=e^x-1=0，得x=0．
所以当x∈（0，+∞）时，f'（x）=e^x-1＞0
当x∈（-∞，0）时，f'（x）=e^x-1＜0．
故当x=0时，函数f（x）=e^x-x+1取极小值，也就是最小值为f（0）=2，
所以d=

|ex-x+1|

2

取最小值

2

，故曲线C₁与曲线C₂的距离为

2

；   
（2）由（1）可知，曲线C₁：y=e^x与直线C₃：y=x-m的距离d1=

|m+1|

2

，
由两条平行线间的距离公式得直线C₂：y=x-1与直线C₃：y=x-m的距离d2=

|m-1|

2

，
则d1+d2=

|m+1|

2

+

|m-1|

2

=

1

2

(|m+1|+|m-1|)
≥

1

2

|m+1-m+1|=

2

，
所以d₁+d₂的最小值为

2

．