Question

如图，在四边形ABCD中，BC＝m，DC＝2 m，四个内角A、B、C、D之比为3∶7∶4∶10，试求四边形ABCD的面积．

Answer 1

答案：
解析：

解：由题意知，设四个内角A、B、C、D的大小依次为3x、7x、4x、10x， 　　则3x＋7x＋4x＋10x＝360°， 　　∴x＝15°，即A＝45°，B＝105°，C＝60°，D＝150°， 　　在△BCD中，由余弦定理，得 　　BD2＝BC2＋DC2－2BC·DC·cosC 　　＝m2＋(2m)2－2×m×2 m×cos60°＝3 m2， 　　∴BD＝m， 　　∴S△BCD＝DC·BC·sinC＝×m×2m×＝m2， 　　在△BCD中，BD2＋BC2＝DC2， 　　∴∠DBC＝90°，∴∠BDC＝30°． 　　在△BAD中，由正弦定理，得 　　AB＝＝ 　　＝m． 　　又∠ABD＝105°－90°＝15°， 　　∴S△ABD＝AB·BD·sin15° 　　＝×m×m× 　　＝m2， 　　∴S四边形ABCD＝S△BCD＋S△ABD 　　＝m2＋m2 　　＝m2． 　　思路解析：四边形的基本构成元素是三角形，因而可把该问题转化为求三角形面积，首先可根据四个内角的度数之比求出四个内角，结合余弦定理求得边长，利用三角形面积公式S＝absinC求解．