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已知点F1,F2是双曲线C的两个焦点,过点F2的直线交双曲线C的一支于A,B两点,若△ABF1为等边三角形,则双曲线C的离心率为______.
如图所示,|BF2|-|BF1|=2a,|AF1|-|AF2|=2a,
∵△ABF1为等边三角形,∴|AB|=|AF1|=|BF1|,
∴|BF2|-|AF2|=4a=|AB|.
∴|BF1|=4a,|BF2|=6a.
在△BF1F2中,由余弦定理可得(2c)2=(4a)2+(6a)2-2•4a•6a•cos60°,
∴c=
7
a,
e=
c
a
=
7

故答案为:
7

练习册系列答案
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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

若双曲线
x2
9
-
y2
m
=1
的渐近线方程为y=±
5
3
x
,则双曲线焦点F到渐近线的距离为 ______.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

已知F1,F2是双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>b>0)的左、右焦点,P为双曲线左支上一点,若
|PF2|2
|PF1|
的最小值为8a,则该双曲线的离心率的取值范围是(  )
A.(1,3)B.(1,2)C.(1,3]D.(1,2]

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

已知双曲线C与双曲线
x2
3
-y2
=1有相同的渐近线,且过点A(
3
,-3),则双曲线C的标准方程是______.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知椭圆具有性质:若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点,P是椭圆上任意一点,则当直线PM,PN的斜率都存在时,其乘积恒为定值.类比椭圆,写出双曲线C′:
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
的类似性质,并加以证明.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

已知圆x2+y2=R2与双曲线
x2
4
-
y2
9
=1
无公共点,则R取值范围为______.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1和
x2
a2
-
y2
b2
=-1(其中a>0,b>0)具有相同的:①焦点;②焦距;③离心率;④渐近线.其中正确的结论序号是______(填上你认为正确的所有序号).

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

离心率为
1
2
的椭圆C1与双曲线C2有相同的焦点,且椭圆长轴的端点、短轴的端点、焦点到双曲线的一条渐近线的距离依次构成等差数列,则双曲线C2的离心率等于(  )
A.
15
3
B.
15
5
C.
21
3
D.
21
7

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

双曲线
x2
16
-
y2
9
=1的离心率e=(  )
A.5B.
5
C.
5
2
D.
5
4

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