Question

【题目】已知圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心为O2(2,1)．
（1）若圆O1与圆O2外切，求圆O2的方程；
（2）若圆O1与圆O2交于A ， B两点，且|AB|＝2 ，求圆O2的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解:设圆O1、圆O2的半径分别为r1，r2，

∵两圆相切，

∴|O1O2|＝r1＋r2，∴r2＝|O1O2|－r1＝ ，

∴圆O2的方程是(x－2)2＋(y－1)2＝4( －1)2.

（2）解:由题意，设圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝ ，

圆O1，O2的方程相减，即得两圆公共弦AB所在直线的方程，

为4x＋4y＋ －8＝0.

∴圆心O1(0，－1)到直线AB的距离为 ，

解得 或20.

∴圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20.

【解析】（1）根据两圆外切可知两圆的圆心距等于两圆的半径和，从而可求得圆O2的半径，即可求得圆O2的方程；（2）先设出圆O2的标准方程，从而表示出两圆公共弦所在直线方程，再解公共弦的一般与圆心到弦的距离及圆的半径所组成的三角形即可求得圆O2的半径，从而求得圆O2的方程.