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已知定义在R上的偶函数f(x)满足:f(x+2)=f(x)+f(1)且在区间[0,1]上单调递增,那么,下列关于此函数f(x)性质的表述:
①函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称; 
②函数y=f(x)是周期函数;
③当x∈[-3,-2]时,f′(x)≥0; ④函数y=f(x)的图象上横坐标为偶数的点都是函数的极小值点.  
其中正确表述的番号是
①②④
①②④
分析:先利用赋值法证明f(1)=0,从而利用函数周期性的定义证明函数的周期性,再利用已知函数性质证明函数的对称性,最后利用函数的周期性和单调性判断函数的单调性和极值即可
解答:解:令x=-1,则f(-1+2)=f(-1)+f(1),又f(-1)=f(1)
∴f(1)=2f(1),∴f(1)=0
∴f(x+2)=f(x)
∴函数y=f(x)是周期函数,最小正周期为2,②正确;
再将上式中的x替换为x-1,得f(x+1)=f(x-1)=f(1-x)
∴函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,①正确;
∵函数f(x)在区间[0,1]上单调递增,∴函数f(x)在区间[-1,0]上单调递减,
又函数的周期为2,∴函数f(x)在区间[-3,-2]上单调递减,此时f′(x)≤0,③错误;
∵函数f(x)在一个周期[-1,1]上有且只有一个零点x=0,且函数周期为2,∴x=0+2k,k∈Z均为函数的零点,④正确
故答案为①②④
点评:本题主要考查了函数性质的抽象表达,利用抽象表达式证明函数的周期性、对称性,利用函数的周期性证明函数的整体性质等知识和技能
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已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数,且对于任意实数a,b都有f(a•b)=af(b)+bf(a),则


  1. A.
    f(x)是奇函数,但不是偶函数
  2. B.
    f(x)是偶函数,但不是奇函数
  3. C.
    f(x)既是奇函数,又是偶函数
  4. D.
    f(x)既非奇函数,又非偶函

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