已知{an}是各项都为正数的等比数列,数列{bn}满足bn=［lga1+lga2+lga3+-+lg(kan)］.问是否存在正数k,使得{bn}成等差数列?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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已知{a_n}是各项都为正数的等比数列,数列{b_n}满足b_n=

［lga₁+lga₂+lga₃+…+lg(ka_n)］，问是否存在正数k,使得{b_n}成等差数列？若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.

k=1时,{b_n}成等差数列.

假设存在正数k,使得{b_n}成等差数列.
设数列{a_n}的公比为q,则a_n=a₁qⁿ-1.
而b_n=

［lga₁+lga₂+lga₃+…+lg(ka_n)］
=

lg(ka₁·a₂·a₃·…·a_n)
=

lg(k·a₁ⁿ·

)
=lga₁+(n-1)lg

+lg

.
∴b_n+1-b_n=(lga₁+nlg

+lg

)-［lga₁+(n-1)lg

+lg

］
=lg

+lg

-lg

.
若{b_n}为等差数列,当且仅当lg

-lg

=0,
即lg

=lg

,
∴k=1.
因此当k=1时,{b_n}成等差数列.

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