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已知{an}是各项都为正数的等比数列,数列{bn}满足bn=[lga1+lga2+lga3+…+lg(kan)],问是否存在正数k,使得{bn}成等差数列?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.
k=1时,{bn}成等差数列.
假设存在正数k,使得{bn}成等差数列.
设数列{an}的公比为q,则an=a1qn-1.
而bn=[lga1+lga2+lga3+…+lg(kan)]
=lg(ka1·a2·a3·…·an)
=lg(k·a1n·)
=lga1+(n-1)lg+lg.
∴bn+1-bn=(lga1+nlg+lg)-[lga1+(n-1)lg+lg
=lg+lg-lg.
若{bn}为等差数列,当且仅当lg-lg=0,
即lg=lg,=,
∴k=1.
因此当k=1时,{bn}成等差数列.
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