Question

20．S_n为数列{a_n}的前n项和，a₁=1，${S_n}=\frac{n}{n-1}{S_{n-1}}+n$（n≥2，n∈N₊）．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设${c_n}={2^{a_n}}•{a_n}$，求{c_n}的前n项和 T_n．

Answer 1

分析 （1）化简${S_n}=\frac{n}{n-1}{S_{n-1}}+n$可得$\frac{S_n}{n}=\frac{{{S_{n-1}}}}{n-1}+1$，从而可求得${S_n}={n^2}$；从而可判断{a_n}为等差数列，从而解得；
（2）化简${c_n}=（2n-1）•{2^{2n-1}}$，从而利用错位相减法化简即可．

解答 解：（1）n≥2时，${S_n}=\frac{n}{n-1}{S_{n-1}}+n$，
两边同除以n得，
$\frac{S_n}{n}=\frac{{{S_{n-1}}}}{n-1}+1$，
故$\left\{{\frac{S_n}{n}}\right\}$是以1为首项，1为公差的等差数列，
故$\frac{{S}_{n}}{n}$=1+（n-1）=n，
故${S_n}={n^2}$；
故{a_n}为等差数列，设公差为d，
则${n^2}=\frac{d}{2}{n^2}+（{a_1}-\frac{d}{2}）n$，
则d=2，
∴a_n=2n-1，n∈N₊．
（2）由（1）知，${c_n}=（2n-1）•{2^{2n-1}}$，
T_n=2+3•2³+5•2⁵+…+（2n-1）2^2n-1，
4T_n=2³+3•2⁵+5•2⁷…+（2n-1）2²ⁿ⁺¹，
两式相减可得，
3T_n=-2（1+2³+2⁵+2⁷…+2^2n-1）+（2n-1）2²ⁿ⁺¹，
化简得，${T_n}=（\frac{8}{3}n-\frac{20}{9}）{2^{2n-1}}+\frac{10}{9}$．

点评 本题考查了转化的思想的应用及错位相减法的应用．注意等差数列的四种判断方法．