Question

若P、q是方程x2-

10

x+t2=0的两实根，且p，p-q，q成等比数列．
（1）求正数t的值．
（2）设an=

1

n(n+1)

，S_n为数列{a_n}的前n项和．求证：log2t≤Sn＜

1

2

logt2．

Answer 1

分析：（1）根据P、q是方程x2-

10

x+t2=0的两实根，利用韦达定理可求得p+q，pq，p，p-q，q成等比数列，根据等比中项的定义可得（p-q）²=pq，然后配凑成韦达定理的形式，即可求得正数t的值；
（2）根据an=

1

n(n+1)

，利用裂项相消法可求其前n项和S_n，再利用数列的单调性可证log2t≤Sn＜

1

2

logt2．

解答：解：（1）∵P、q是方程x2-

10

x+t2=0的两实根，
∴p+q=

10

，pq=t²，
∵p，p-q，q成等比数列，
∴（p-q）²=pq，即（p+q）²=5pq，
∴10=5t²，
∵t＞0，∴t=

2

．
（2）∵an=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴S_n=

1

1

-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

＜1=

1

2

logt2，
而1-

1

n+1

≥1-

1

2

=

1

2

=log₂t，
∴log2t≤Sn＜

1

2

logt2．

点评：此题是个中档题．考查韦达定理的应用和等比数列的性质，以及裂项相消法求数列的前n项和，体现了方程的思想．以及学生综合运用知识解决问题的能力．