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设正项数列{an}的前n项之和Sn满足Sn=
1
2
(an+
n
an
)(n∈N*)

(1)求Sn
(2)证明:
1
S
2
1
+
1
S
2
2
+…+
1
S
2
n
<2
分析:(1)当n≥2时,利用an=Sn-Sn-1,可得Sn2-Sn-12=n,再用叠加法,即可得到结论;
(2)利用裂项法,再用放缩法,可得结论.
解答:(1)解:当n=1时,S1=
1
2
(a1+
1
a1
)

∵a1>0,∴a1=1;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1,∴Sn=
1
2
(Sn-Sn-1+
n
Sn-Sn-1
)

Sn2-Sn-12=n
Sn2=(Sn2-Sn-12)+(Sn-12-Sn-22)+…+(S22-S12)+S12=n+(n-1)+…+2+1=
n(n+1)
2

∵an>0,Sn>0,∴Sn=
n(n+1)
2

(2)证明:∵
1
Sn2
=
2
n(n+1)
=2(
1
n
-
1
n+1

1
S
2
1
+
1
S
2
2
+…+
1
S
2
n
=2[(1-
1
2
)+(
1
2
-
1
3
)+…+(
1
n
-
1
n+1
)]=2(1-
1
n+1
)<2.
点评:本题考查数列递推式,考查叠加法、裂项法的运用,属于中档题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=(
x
+
2
)2(x>0)
,设正项数列an的首项a1=2,前n 项和Sn满足Sn=f(Sn-1)(n>1,且n∈N*).
(1)求an的表达式;
(2)在平面直角坐标系内,直线ln的斜率为an,且ln与曲线y=x2相切,ln又与y轴交于点Dn(0,bn),当n∈N*时,记dn=
1
4
|
Dn+1Dn
|-1
,若Cn=
d
2
n+1
+
d
2
n
2dn+1dn
,求数列cn的前n 项和Tn

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科目:高中数学 来源: 题型:

设正项数列{an}的前项和是Sn,若{an}和{
Sn
}都是等差数列,且公差相等,求:
(1){an}的通项公式;
(2)若a1,a2,a5恰为等比数列{bn}的前三项,记数列cn=cn=
24bn
(12bn-1)2
,数列{cn}的前n项和为Tn,求证:对任意n∈N*,都有Tn<2.

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科目:高中数学 来源: 题型:

设正项数列{an}的前项和为Sn,q为非零常数.已知对任意正整数n,m,当n>m时,Sn-Sm=qm•Sn-m总成立.
(1)求证数列{an}是等比数列; 
(2)若正整数n,m,k成等差数列,求证:
1
Sn
+
1
Sk
2
Sm

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科目:高中数学 来源: 题型:

(1)已知数列{an}满足a1=1,an+1=
2an2+3an+m
an+1
(n∈N*)
,①若恒有an+1≥an,求m的取值范围.②在-3≤m<1时,证明:
1
a1+1
+
1
a2+1
+…+
1
an+1
≥1-
1
2n

(2)设正项数列{an}的通项an满足条件:(ann+nan-1=0(n∈N*),求证:0<an
1
2

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科目:高中数学 来源: 题型:

设正项数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=
1
4
an2+
1
2
an-
3
4
,n∈N*
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)是否存在等比数列{bn},使a1b1+a2b2+…anbn=(2n-1)•2n+1+2对一切正整数都成立?并证明你的结论.

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