Question

18．已知平行四边形ABCD中，AB=6，AD=10，BD=8，E是线段AD的中点，沿直线BD将△BCD翻折成△BC′D，使得平面BC′D⊥平面ABD．
（Ⅰ）求证：平面DEC′⊥平面ABD；
（Ⅱ）求直线BD与平面BEC′所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据条件可以得到CD⊥BD，这样根据面面垂直的性质定理便可得出直线C′D⊥平面ABD，从而根据面面垂直的判定定理即可得出平面DEC′⊥平面ABD；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）便可得到DB，DC，DC′三直线两两垂直，从而可分别以这三直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，从而可以得出B，D，E，C′几点的坐标，进一步便可得出向量$\overrightarrow{BD}，\overrightarrow{BE}，\overrightarrow{BC′}$的坐标．可设平面BEC′的法向量为$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$，而根据$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BE}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC′}=0}\end{array}\right.$便可求出平面BEC′的一个法向量，可设直线BD与平面BEC′所成角为θ，这样根据sinθ=$|cos＜\overrightarrow{BD}，\overrightarrow{m}＞|=\frac{|\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{BD}||\overrightarrow{m}|}$即可求出直线BD与平面BEC′所成角的正弦值．

解答 解：（Ⅰ）证明：BC=AD=10，BD=8，CD=AB=6；
CD²+BD²=BC²；
∴CD⊥BD；
∴C′D⊥BD；
又平面BC′D⊥平面ABD，平面BC′D∩平面ABD=BD，C′D?平面BC′D；
∴C′D⊥平面ABD；
又C′D?平面DEC′；
∴平面DEC′⊥平面ABD；
（Ⅱ）由上面知DB，DC，DC′三直线两两垂直，∴分别以这三直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：

D（0，0，0），B（-8，0，0），A（-8，-6，0），E（-4，-3，0），C′（0，0，6）；
∴$\overrightarrow{BD}=（8，0，0），\overrightarrow{BE}=（4，-3，0）$，$\overrightarrow{BC′}=（8，0，6）$；
设平面BEC′的法向量为$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$，则：
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BE}=4x-3y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC′}=8x+6z=0}\end{array}\right.$；
取x=1，则$\overrightarrow{m}=（1，\frac{4}{3}，-\frac{4}{3}）$；
设直线BD与平面BEC′所成角为θ，则：sinθ=$|cos＜\overrightarrow{BD}，\overrightarrow{m}＞|$=$\frac{|\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{BD}||\overrightarrow{m}|}=\frac{8}{8×\sqrt{1+\frac{16}{9}+\frac{16}{9}}}=\frac{3\sqrt{41}}{41}$；
即直线BD与平面BEC′所成角的正弦值为$\frac{3\sqrt{41}}{41}$．

点评 考查直角三角形边的关系，面面垂直的性质定理，面面垂直的判定定理，以及通过建立空间直角坐标系，利用空间向量解决线面角问题的方法，能求空间点的坐标，由点的坐标可以求向量的坐标，平面法向量的概念及求法，向量夹角余弦的坐标公式，弄清线面角和直线方向向量和平面法向量夹角的关系．