Question

已知△ABC的周长是8，顶点B与C的坐标分别是（0，-1）和（0，1）
（1）求顶点A的轨迹E的方程
（2）过点P（-2，1）作直线l与（1）中的曲线E交于M，N两点，若P恰为弦MN的中点，求直线l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）根据三角形的周长，结合椭圆的定义可知A点的轨迹是一个椭圆，进而可得椭圆方程，应注意A不在直线BC上；
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），利用点差法，求出直线的斜率，即可求直线l的方程．

解答： 解：（1）由已知|AB|+|AC|+|BC|=8，|BC|=2，得|AB|+|AC|=6＞2=|BC|，
由定义可知A点的轨迹是一个椭圆，且2c=2，2a=6，
即c=1，a=3，
∴b²=a²-c²=8，
当A在直线BC上，即x=0时，A，B，C三点不能构成三角形．
因此，A点的轨迹方程为

x2

9

+

y2

8

=1（x≠0）；
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则

x12

9

+

y12

8

=1，

x22

9

+

y22

8

=1，
∵线段MN的中点恰为点P，
∴两式相减可得

-4(x2-x1)

9

+

2(y2-y1)

8

=0，
∴k=

y2-y1

x2-x1

=

16

9

，
∴可得直线l的方程为y-1=

16

9

（x+2），即16x-9y+41=0．

点评：本题考查椭圆的定义，考查椭圆的方程，考查点差法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．