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    已知a＞0，b＞0，且h=min {a，  
    b
    a2+4b2
    }    ，其中min{a，b}表示数a，b中较小的数，则h的最大值为
    1
    2
    1
    2
    ．
    分析：将两个数a与
    b
    a2+4b2
    相乘，得到
    ab
    a2+4b2
    =
    1
    a
    b
    +
    4b
    a
    ，运用基本不等式得到这个积的最大值为
    1
    4
    ，再根据a与
    b
    a2+4b2
    两个数都是正数，讨论得当且仅当两个正数相等时，它们当中的较小数取最大值，可得正确答案．
    解答：解：∵a＞0，b＞0
    ∴a•
    b
    a2+4b2
    =
    ab
    a2+4b2
    ＞0
    ∵
    ab
    a2+4b2
    =
    1
    a
    b
    +
    4b
    a
    且
    a
    b
    +
    4b
    a
    ≥ 2
    a
    b
     •
    4b
    a
    =4
    ∴
    ab
    a2+4b2
    ≤
    1
    4
    ，当且仅当a=2b时，取等号
    ∵a与
    b
    a2+4b2
    两个数都是正数，且积为
    1
    4

    ∴当a=2b=
    1
    2
    ，即a=
    1
    2
    ，b=
    1
    4
    时，a与
    b
    a2+4b2
    相等且为
    1
    2
    ，
    当a≠2b时，a与
    b
    a2+4b2
    不相等，且较小的数小于
    1
    2
    ，较大的数大于
    1
    2

    所以，当a=2b=
    1
    2
    ，即a=
    1
    2
    ，b=
    1
    4
    时，时h=min {a， 
    b
    a2+4b2
    }    的值最大
    且这个最大值为
    1
    2

    故答案为：
    1
    2
    点评：本题以函数的最值为载体，考查了基本不等式求最值和函数的最值及其几何意义等知识点，属于中档题．
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    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知a＞0，b＞0，且ab=1，α=a+
    4
    a
    ，β=b+
    4
    b
    ，则α+β的最小值为（　　）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （1）在平面直角坐标系xOy中，判断曲线C：
    x=2cosθ
    y=sinθ
    （θ为参数）与直线l：
    x=1+2t
    y=1-t
    （t为参数）是否有公共点，并证明你的结论．
    （2）已知a＞0，b＞0，a+b=1，求证：
    1
    2a+1
    +
    4
    2b+1
    ≥
    9
    4
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•松江区二模）已知双曲线C的中心在原点，D（1，0）是它的一个顶点，
    d
    =(1，
    		2
    )    是它的一条渐近线的一个方向向量．
    （1）求双曲线C的方程；
    （2）若过点（-3，0）任意作一条直线与双曲线C交于A，B两点 （A，B都不同于点D），求证：
    DA
    •
    DB
    为定值；
    （3）对于双曲线Γ：
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1(a＞0，b＞0，a≠b)    ，E为它的右顶点，M，N为双曲线Γ上的两点（都不同于点E），且EM⊥EN，那么直线MN是否过定点？若是，请求出此定点的坐标；若不是，说明理由．然后在以下三个情形中选择一个，写出类似结论（不要求书写求解或证明过程）．
    情形一：双曲线
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1(a＞0，b＞0，a≠b)    及它的左顶点；
    情形二：抛物线y2=2px（p＞0）及它的顶点；
    情形三：椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    及它的顶点．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知a＞0，b＞0，a+b=1，则a+
    1
    a
    +b+
    1
    b
    的最小值为
    5
    5
    ．

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    科目：高中数学 来源：松江区二模 题型：解答题

    已知双曲线C的中心在原点，D（1，0）是它的一个顶点，
    d
    =(1，
    		2
    )    是它的一条渐近线的一个方向向量．
    （1）求双曲线C的方程；
    （2）若过点（-3，0）任意作一条直线与双曲线C交于A，B两点 （A，B都不同于点D），求证：
    DA
    •
    DB
    为定值；
    （3）对于双曲线Γ：
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1(a＞0，b＞0，a≠b)    ，E为它的右顶点，M，N为双曲线Γ上的两点（都不同于点E），且EM⊥EN，那么直线MN是否过定点？若是，请求出此定点的坐标；若不是，说明理由．然后在以下三个情形中选择一个，写出类似结论（不要求书写求解或证明过程）．
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    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1(a＞0，b＞0，a≠b)    及它的左顶点；
    情形二：抛物线y2=2px（p＞0）及它的顶点；
    情形三：椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    及它的顶点．

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