【题目】已知椭圆Γ: +y2=1(a>1)的左焦点为F1 , 右顶点为A1 , 上顶点为B1 , 过F1 , A1 , B1三点的圆P的圆心坐标为( , ).
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若直线l:y=kx+m(k,m为常数,k≠0)与椭圆Γ交于不同的两点M和N.
(i)当直线l过E(1,0),且 +2 = 时,求直线l的方程;
(ii)当坐标原点O到直线l的距离为 时,求△MON面积的最大值.
【答案】解:(1)椭圆Γ: +y2=1(a>1)的左焦点为F1(﹣c,0)右顶点为A1(a,0)上顶点为B1(0,1),
由题意可知,圆心P在A1F1的中垂线上,即 = ,则a﹣c= ﹣ ,
由a2﹣c2=1,及(a+c)(a﹣c)=1,∴a+c= + ,
∴a= ,c= ,
∴椭圆的标准方程为: ;
(Ⅱ)(i)设直线l的方程为y=k(x﹣1),M(x1 , y1),N(x2 , y2),.
代入椭圆方程,整理得:(1+3k2)x2﹣6k2x+3k2﹣3=0,
由韦达定理可知:x1+x2= ,①x1x2= ,②
由 =(x1﹣1,y1), =(x2﹣1,y2) ,
+2 = 时,则(x1﹣1,y1)+2(x2﹣1,y2)= ,则x1+2x2=3,③,
由①③,解得:x1= ,x2=
由②可知: = × ,
当3k2﹣3=0时,即k=±1,显然成立,
当3k2﹣3≠0,1+3k2≠0,则 =1,显然不成立,
综上可知:k=±1,
∴直线l的方程y=x﹣1或y=﹣x+1;
(ii)设M(x1 , y1),N(x2 , y2).
由题意,设直线AB的方程为y=kx+m,
由坐标原点O到直线l的距离为 可得 ,化为m2= (k2+1).
把y=kx+m代入椭圆方程,消去y得到(3k2+1)x2+6kmx+3m2﹣3=0,
∴x1+x2=﹣ ,x1x2= .
∴丨MN丨2=(1+k2)[(x1+x2)2﹣4x1x2]
=(1+k2)[(﹣ )2﹣4( )]= = ,
=3+ ,(k≠0),
=3+ ≤3+ =4,
当且仅当9k2= 时,即k=± 时,等号成立,此时丨MN丨=2,
由△MON面积S= ×丨MN丨× ,
= ×2× ,
= ,
∴△MON面积的最大值
【解析】(Ⅰ)由题可知:圆心P在A1F1的中垂线上,则a﹣c= ﹣ ,由椭圆的性质可知:a2﹣c2=1,即可求得a的值,求得椭圆方程;(Ⅱ)(i)设直线l的方程为y=k(x﹣1),代入椭圆方程,利用韦达定理及向量的坐标运算,即可求得x1及x2 , 由x1x2= ,代入即可求得k的值,求得直线l的方程;(ii)将直线l的方程代入椭圆方程,由点到直线的距离公式求得m2= (k2+1),利用韦达定理,弦长公式,三角形的面积公式及基本不等式的性质,求得△MON面积的最大值.
【考点精析】通过灵活运用椭圆的标准方程,掌握椭圆标准方程焦点在x轴:,焦点在y轴:即可以解答此题.
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【题目】已知函数f(x)= x2 , g(x)=alnx.
(1)若曲线y=f(x)﹣g(x)在x=1处的切线的方程为6x﹣2y﹣5=0,求实数a的值;
(2)设h(x)=f(x)+g(x),若对任意两个不等的正数x1 , x2 , 都有 >2恒成立,求实数a的取值范围;
(3)若在[1,e]上存在一点x0 , 使得f′(x0)+ <g(x0)﹣g′(x0)成立,求实数a的取值范围.
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【题目】已知数列{an}满足a1=1,an+1=1﹣ ,其中n∈N* .
(Ⅰ)设bn= ,求证:数列{bn}是等差数列,并求出{an}的通项公式an;
(Ⅱ)设Cn= ,数列{CnCn+2}的前n项和为Tn , 是否存在正整数m,使得Tn< 对于n∈N*恒成立,若存在,求出m的最小值,若不存在,请说明理由.
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【题目】已知函数 f ( x )=sin(2x+ )+cos(2x+ )+2sin x cos x.
(Ⅰ)求函数 f ( x) 图象的对称轴方程;
(Ⅱ)将函数 y=f ( x) 的图象向右平移 个单位,再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的 4 倍,纵坐标不变,得到函数 y=g ( x) 的图象,求 y=g ( x) 在[ ,2π]上的值域.
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【题目】下列说法正确的个数是( ) ①命题“x∈R,x3﹣x2+1≤0”的否定是“ ;
②“ ”是“三个数a,b,c成等比数列”的充要条件;
③“m=﹣1”是“直线mx+(2m﹣1)y+1=0和直线3x+my+2=0垂直”的充要条件:
A.0
B.1
C.2
D.3
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【题目】已知M是直线l:x=﹣1上的动点,点F的坐标是(1,0),过M的直线l′与l垂直,并且l′与线段MF的垂直平分线相交于点N (Ⅰ)求点N的轨迹C的方程
(Ⅱ)设曲线C上的动点A关于x轴的对称点为A′,点P的坐标为(2,0),直线AP与曲线C的另一个交点为B(B与A′不重合),直线P′H⊥A′B,垂足为H,是否存在一个定点Q,使得|QH|为定值?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知O为坐标原点,P(x,y)为函数y=1+lnx图象上一点,记直线OP的斜率k=f(x). (Ⅰ)若函数f(x)在区间(m,m+ )(m>0)上存在极值,求实数m的取值范围;
(Ⅱ)当x≥1时,不等式f(x)≥ 恒成立,求实数t的取值范围.
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