Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中x∈R，A?＞0，ω＞0，-

π

2

＜φ＜

π

2

）的部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）已知锐角△ABC中的三个内角分别为A，B，C，若有f（

A

π

）=

3

2

，边BC=

7

，sin B=

21

7

求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）由函数的最值求得A=1，由函数的周期求得ω=

π

4

．把点（-1，0）代入函数的解析式，结合-

π

2

＜φ＜

π

2

，可得 φ=

π

4

，从而得到函数的解析式．
（2）由f（

A

π

）=

3

2

解得A=

π

3

，再由sin B=

21

7

可得cosB=

2 7

7

，由此求得sinC=sin（A+B）=sin（

π

3

+B） 的值．再由正弦定理可求得 AB=3，
从而求得△ABC的面积

1

2

AB•BC•sinB 的值．

解答：解：（1）由函数的图象可得A=1，

1

2

•

2π

ω

=3-（-1）=4，故ω=

π

4

．
把点（-1，0）代入函数的解析式可得 0=sin（-

π

4

+φ），结合-

π

2

＜φ＜

π

2

，可得 φ=

π

4

，
故函数的解析式为 f（x）=sin（

π

4

x+

π

4

）．
（2）锐角△ABC中的三个内角分别为A，B，C，由f（

A

π

）=

3

2

=sin（

A+π

4

），可得

A+π

4

=

π

3

或

2π

3

，

解得A=

π

3

，或A=

5π

3

（舍去）．
再由sin B=

21

7

可得cosB=

2 7

7

，∴sinC=sin（A+B）=sin（

π

3

+B）=sin

π

3

cosB+cos

π

3

sinB=

3

2

×

2 7

7

+

1

2

×

21

7

=

3 21

14

．
在由正弦定理可得

AB

sinC

=

BC

sinA

，即

AB

3 21 14

=

7

3 2

，解得 AB=3，
故△ABC的面积等于

1

2

AB•BC•sinB=

1

2

×3×

7

×

21

7

=

3 3

2

．

点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，两角和的正弦公式、正弦定理的应用，属于中档题．