Question

已知f(x)=

x2+kx+1

x2+x+1

，若对任意的非负实数a，b，c，f（a），f（b），f（c）为三角形三边，则k的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：利用三角形三边的性质，得f（a）+f（b）＞f（c），通过分类讨论求得到三边之间的关系不等式，解出不等式的解集即可．

解答：解：∵x²+x+1＞0恒成立，f（a），f（b），f（c）为三角形三边，∴f（x）＞0恒成立，即x²+kx+1＞0（x≥0）恒成立
x=0时，结论成立；x＞0时，-k＜x+

1

x

，∵x＞0，∴x+

1

x

≥2
∴-k＜2
∴k＞-2
f（x）=1+

k-1

x+ 1 x +1

 （x＞0）
由k＞-2
（1）当k=1时，满足题意；
（2）当k＞1时，f（x）∈（1，1+

k-1

3

]，由题意知：1+1＞1+

k-1

3

，∴1＜k＜4
（3）当k＜1时，f（x）∈[

2+k

3

，1），于是有2×

2+k

3

＞1，∴1＞k＞-

1

2

综上，实数k的取值范围为-

1

2

＜k＜4．
故答案为：-

1

2

＜k＜4．

点评：此题主要考查不等式的求解方法．