Question

已知抛物线C：y²=-2px（p＞0）上横坐标为-3的一点到准线的距离为4．
（1）求p的值；
（2）设动直线y=x+b与抛物线C相交于A、B两点，问在直线l：y=2上是否存在与b的取值无关的定点M，使得∠AMB被直线l平分？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）由已知得，∵p＞0，∴p=2
（2）令A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），设存在点M（a，2）满足条件，由已知得k_AM=-K_BM，
即有 ；
整理得y₁y₂（y₁+y₂）+4a（y₁+y₂）-2（y₁²+y₂²）-16a=0；
由，得 y²+4y-4b=0，即 y₁+y₂=-4，y₁y₂=-4b，
有-4b•（-4）+4a（-4）-2[（-4）²+8b]-16a=0，∴a=-1，
因此存在点M（-1，2）满足题意．
分析：（1） 直接利用条件得 ，解得p值．
（2）令A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），设存在点M（a，2）满足条件，由已知得k_AM=-K_BM，整理得y₁y₂（y₁+y₂）+4a（y₁+y₂）-2（y₁²+y₂²）-16a=0；把直线方程代入抛物线方程化简，把根与系数的关系代入解得a的值．
点评：本题考查斜率公式，抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用．