Question

（2013•温州一模）设A（1，-1），B（0，1），若直线ax+by=1与线AB（包括端点）有公共点，则a²+b²的最小值为（　　）

• A．

  1

  4

• B．

  1

  3

• C．

  1

  2

• D．1

Answer 1

分析：由题意得：点A（1，-1），B（0，1）在直线ax+by=1的两侧，那么把这两个点代入ax+by-1，乘积小于等于0，即可得出关于a，b的不等关系，画出此不等关系表示的平面区域，结合线性规划思想求出a²+b²的取值范围．

解答：解：∵直线ax+by=1与线段AB有一个公共点，
∴点A（1，-1），B（0，1）在直线ax+by=1的两侧，
∴（a-b-1）（b-1）≤0，

a-b-1≤0 b-1≥0

或

a-b-1≥0 b-1≤0

画出它们表示的平面区域，如图所示．
a²+b²表示原点到区域内的点的距离的平方，
由图可知，当原点O到直线a-b-1=0的距离为原点到区域内的点的距离的最小值，
∵d=

|-1|

2

=

2

2

，
那么a²+b²的最小值为

1

2

故选C

点评：本题考查二元一次不等式组与平面区域问题、函数的最值及其几何意义，是基础题．准确把握点与直线的位置关系，找到图中的“界”，是解决此类问题的关键．