Question

椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，离心率e=

2

2

，椭圆上的点到焦点的最短距离为1-e，直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A、B，且

AP

=λ

PB

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若

OA

+λ

OB

=4

OP

，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设椭圆C的方程为：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0），由c＞0，c²=a²-b²，且a-c=1-

2

2

，e=

c

a

=

2

2

，可得a=1，b=c=

2

2

；则椭圆C的方程可求．
（2）由

AP

=λ

PB

，得

OP

-

OA

=λ（

OB

-

OP

），即（1+λ）

OP

=

OA

+λ

OB

，∴1+λ=4，得λ的值；设l与椭圆的交点为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由

2x2+y2=1 y=kx+m

，得（k²+2）x²+2kmx+（m²-1）=0，∴△＞0，且x₁+x₂=

-2km

k2+2

，x₁x₂=

m2-1

k2+2

；由

AP

=3

PB

，得-x₁=3x₂，∴

x1+x2=-2x2 x1x2=-3x22

，即3（x₁+x₂）²+4x₁x₂=0，
∴3(

-2km

k2+2

)2+4

m2-1

k2+2

=0，即4k²m²+2m²-k²-2=0，所以m²=

1

4

时，上式不成立；m²≠

1

4

时，k²=

2-2m2

4m2-1

，由λ的值，知斜率k≠0，得k²＞0，从而得m的取值范围．

解答：解：如图所示，
（1）设椭圆C的方程为：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0），且c＞0，c²=a²-b²；
由题意a-c=1-

2

2

，

c

a

=

2

2

，∴a=1，b=c=

2

2

；∴C的方程为y²+2x²=1；
（2）由

AP

=λ

PB

，得

OP

-

OA

=λ（

OB

-

OP

），∴（1+λ）

OP

=

OA

+λ

OB

，∴1+λ=4，即λ=3；
设l与椭圆的交点为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由

2x2+y2=1 y=kx+m

，得（k²+2）x²+2kmx+（m²-1）=0，
∴△=（2km）²-4（k²+2）（m²-1）=4（k²-2m²+2）＞0，∴x₁+x₂=

-2km

k2+2

，x₁x₂=

m2-1

k2+2

；
由

AP

=3

PB

，得-x₁=3x₂，∴

x1+x2=-2x2 x1x2=-3x22

，整理得3（x₁+x₂）²+4x₁x₂=0，
即3(

-2km

k2+2

)2+4

m2-1

k2+2

=0，整理得4k²m²+2m²-k²-2=0①，
当m²=

1

4

时，①式不成立；m²≠

1

4

时，有k²=

2-2m2

4m2-1

，由λ=3，知k≠0，
∴k²=

2-2m2

4m2-1

＞0，∴-1＜m＜-

1

2

或

1

2

＜m＜1，符合△＞0，
∴m∈（-1，-

1

2

）∪（

1

2

，1）．

点评：本题以平面向量为工具，考查了直线与椭圆方程的综合应用，以及根与系数的关系式在圆锥曲线中的应用问题．