【题目】函数,.
(1)若,求函数的单调区间;
(2)若恒成立,求实数的取值范围;
(3)设,,为曲线上两点,且,设直线斜率为,,证明:
【答案】(1)的单调递减区间为,单调递增区间为(2)(3)见证明
【解析】
(1)求出,在定义域内,分别令求得的范围,可得函数增区间,求得的范围,可得函数的减区间;(2)恒成立,等价于恒成立,设,利用导数研究函数的单调性,求出函数的最大值,从而可得结果; (3)要证即证,设,只需证明 ,其中,设,利用导数证明即可得结论.
(1)当时,函数,.
.
当时,,当时,,
则函数的单调递减区间为,单调递增区间为.
(2)恒成立,即恒成立,整理得:恒成立,设,则,令,得,所以,在上函数单调递增,在上单调递减.
所以当时,函数取得最大值,因此.
(3),
又,所以
要证.
即证,因为,
即证,
设,即证:,
也就是要证:,其中,
设,
则 ,
所以在上单调递增,因此.即:.
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【题目】小威初三参加某高中学校的数学自主招生考试,这次考试由十道选择题组成,得分要求是:做对一道题得1分,做错一道题扣去1分,不做得0分,总得分7分就算及格,小威的目标是至少得7分获得及格,在这次考试中,小威确定他做的前六题全对,记6分,而他做余下的四道题中,每道题做对的概率均为p,考试中,小威思量:从余下的四道题中再做一题并且及格的概率;从余下的四道题中恰做两道并且及格的概率,他发现,只做一道更容易及格.
(1)设小威从余下的四道题中恰做三道并且及格的概率为,从余下的四道题中全做并且及格的概率为,求及;
(2)由于p的大小影响,请你帮小威讨论:小威从余下的四道题中恰做几道并且及格的概率最大?
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【题目】如图,是坐标原点,过的直线分别交抛物线于、两点,直线与过点平行于轴的直线相交于点,过点与此抛物线相切的直线与直线相交于点.则( )
A. B. C. D.
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【题目】已知,.
(1)当时,求函数图象在处的切线方程;
(2)若对任意,不等式恒成立,求的取值范围;
(3)若存在极大值和极小值,且极大值小于极小值,求的取值范围.
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【题目】已知函数.
(1)当a=1时,求函数在(2,)处的切线方程:
(2)当a=2时,求函数的单调区间和极值;
(3)若在上是单调增函数,求实数a的取值范围.
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【题目】已知抛物线过点,过点作直线与抛物线交于不同两点、,过作轴的垂线分别与直线、交于点、,其中为坐标原点.
(1)求抛物线的方程;
(2)写出抛物线的焦点坐标和准线方程;
(3)求证:为线段的中点.
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【题目】已知椭圆的左.右焦点分别为,为坐标原点.
(1)若斜率为的直线交椭圆于点,若线段的中点为,直线的斜率为,求的值;
(2)已知点是椭圆上异于椭圆顶点的一点,延长直线,分别与椭圆交于点,设直线的斜率为,直线的斜率为,求证:为定值.
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【题目】学校艺术节对同一类的,,,四项参赛作品,只评一项一等奖,在评奖揭晓前,甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下:
甲说:“是或作品获得一等奖”;
乙说:“作品获得一等奖”;
丙说:“,两项作品未获得一等奖”;
丁说:“是作品获得一等奖”.
若这四位同学中只有两位说的话是对的,则获得一等奖的作品是__________.
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