Question

18．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦距为2c，则$\frac{b+c}{a}$的取值范围为（1，$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 通过平方、利用基本不等式及a²=b²+c²可知1＜$（\frac{b+c}{a}）^{2}$≤2，进而可得结论．

解答 解：依题意，a²=b²+c²，
∵$（\frac{b+c}{a}）^{2}$=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}+2bc}{{a}^{2}}$=1+$\frac{2bc}{{a}^{2}}$≤1+$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}}{{a}^{2}}$=2，
∴1＜$\frac{b+c}{a}$≤$\sqrt{2}$，
故答案为：（1，$\sqrt{2}$]．

点评 本题考查基本不等式，利用椭圆的定义是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于基础题．