Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，过F₂作直线l与椭圆C交于点M、N．
（1）若椭圆C的离心率为

1

2

，右准线的方程为x=4，M为椭圆C上顶点，直线l交右准线于点P，求

1

PM

+

1

PN

的值；
（2）当a²+b²=4时，设M为椭圆C上第一象限内的点，直线l交y轴于点Q，F₁M⊥F₁Q，证明：点M在定直线上．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用椭圆C的离心率为

1

2

，右准线的方程为x=4，建立方程，求出几何量，可得椭圆C的方程线l的方程为y=-

3

(x-1)，令x=4，可得P(4，-3

3

)，再求出M，N的坐标，即可，求

1

PM

+

1

PN

的值；
（2）直线l的方程为y=

y0

x0-c

(x-c)，令x=0，可得Q(0，

-cy0

x0-c

)，F₁M⊥F₁Q可知y02=x02-c2，结合椭圆的方程，求出M的坐标，即可证明点M在定直线上．

解答： （1）解：设F₂（c，0），则

c a = 1 2 a2 c =4

，解得

a=2 c=1

，
所以椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1，…（2分）
则直线l的方程为y=-

3

(x-1)，令x=4，可得P(4，-3

3

)，
联立

y=- 3 (x-1) x2 4 + y2 3 =1

，得

5x2

4

-2x=0，所以M(0，

3

)，N(

8

5

，-

3 3

5

)，…（4分）
所以

1

PM

+

1

PN

=

1

(0-4)2+( 3 +3 3 )2

+

1

( 8 5 -4)2+(- 3 3 5 +3 3 )2

=

1

8

+

5

24

=

1

3

．…（6分）
（2）证明：设M（x₀，y₀）（x₀＞0，y₀＞0），F₂（c，0），则直线l的方程为y=

y0

x0-c

(x-c)，
令x=0，可得Q(0，

-cy0

x0-c

)，…（8分）
由F₁M⊥F₁Q可知，kF1M•kF1Q=

y0

x0+c

•

-cy0 x0-c

c

=-1，整理得y02=x02-c2，
又c²=a²-b²=2a²-4，
联立

y02=x02-(2a2-4) x02 a2 + y02 4-a2 =1

，解得

x0= a2 2 y0=2- a2 2

，…（14分）
所以点M在定直线x+y=2上．                   …（16分）

点评：本题主要考查了椭圆的标准方程及其几何性质，直线和直线、直线和椭圆的位置关系等基础知识和基本技能，考查数形结合的思想、推理能力和计算能力．